Страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.74. В равнобокой трапеции высота равна $h$, а угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен $\alpha$. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Высота трапеции равна $h$, а угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен $\alpha$. Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме оснований: $m = \frac{AD + BC}{2}$.

Для нахождения средней линии воспользуемся свойством равнобокой трапеции и тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. Длина этой высоты по условию равна $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$.

Выразим длину катета $AH$ через основания трапеции. Проведем вторую высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. Поскольку трапеция равнобокая, прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DCH$ равны по гипотенузе и катету ($AB=CD$, $BK=CH=h$). Из равенства треугольников следует, что $AK = DH$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, так что $KH = BC$. Длину основания $AD$ можно представить в виде суммы $AD = AK + KH + DH$. Подставив $KH=BC$ и $AK=DH$, получим $AD = DH + BC + DH = 2DH + BC$. Отсюда найдем $DH = \frac{AD - BC}{2}$. Теперь можем найти длину отрезка $AH$: $AH = AD - DH = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{2AD - AD + BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$. Это означает, что длина катета $AH$ равна средней линии трапеции $m$.

Теперь найдем величину угла $\angle CAH$ (на рисунке он обозначен как $\beta$). Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне (например, $CD$), равен $\alpha$. Таким образом, $\angle COD = \alpha$. В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC=BD$). Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по трем сторонам ($AB=DC$, $BD=AC$, $AD$ — общая). Из этого следует, что углы $\angle CAD$ и $\angle BDA$ равны. Обозначим их величину как $\beta$. В треугольнике $\triangle AOD$ углы при основании $AD$ равны ($\angle OAD = \angle ODA = \beta$), значит, он является равнобедренным. Сумма углов в треугольнике $AOD$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle AOD = 180^\circ - 2\beta$. Углы $\angle AOD$ и $\angle COD$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$: $\angle COD + \angle AOD = 180^\circ$. Подставим известные значения: $\alpha + (180^\circ - 2\beta) = 180^\circ$. Отсюда получаем $\alpha = 2\beta$, или $\beta = \frac{\alpha}{2}$. Мы установили, что угол $\angle CAH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ACH$ равен $\frac{\alpha}{2}$.

Теперь у нас есть все данные для прямоугольного треугольника $\triangle ACH$: катет $CH=h$, прилежащий к углу $\beta$ катет $AH=m$, и сам угол $\beta = \angle CAH = \frac{\alpha}{2}$. Используя определение тангенса угла: $\tan(\angle CAH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{AH}$. Подставим наши значения: $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{h}{m}$. Из этого соотношения выразим среднюю линию $m$: $m = \frac{h}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = h \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $h \cot(\frac{\alpha}{2})$

3.75. В прямоугольнике диагональ, равная $d$, делит угол в отношении $p:q$. Найдите периметр прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a+b)$.

Диагональ прямоугольника, длина которой равна $d$, делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике катеты равны сторонам прямоугольника $a$ и $b$, а гипотенуза — диагонали $d$.

Угол прямоугольника составляет $90^\circ$. По условию задачи, диагональ делит этот угол на две части в отношении $p:q$. Обозначим эти части как $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, мы можем составить систему уравнений:

$\begin{cases}\alpha + \beta = 90^\circ \\\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\alpha$: $\alpha = \beta \cdot \frac{p}{q}$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$\beta \cdot \frac{p}{q} + \beta = 90^\circ$

$\beta \left(\frac{p}{q} + 1\right) = 90^\circ$

$\beta \left(\frac{p+q}{q}\right) = 90^\circ$

Отсюда находим $\beta$:

$\beta = \frac{90^\circ \cdot q}{p+q}$

Теперь находим $\alpha$:

$\alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - \frac{90^\circ \cdot q}{p+q} = \frac{90^\circ(p+q) - 90^\circ q}{p+q} = \frac{90^\circ p}{p+q}$

Таким образом, углы, на которые диагональ делит прямой угол прямоугольника, равны $\alpha = \frac{90^\circ p}{p+q}$ и $\beta = \frac{90^\circ q}{p+q}$.

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$, эти углы $\alpha$ и $\beta$ являются острыми. Стороны $a$ и $b$ можно выразить через гипотенузу $d$ и один из этих углов, например, $\alpha$, используя определения синуса и косинуса:

$a = d \cdot \cos(\alpha)$

$b = d \cdot \sin(\alpha)$

Теперь мы можем найти периметр прямоугольника:

$P = 2(a+b) = 2(d \cdot \cos(\alpha) + d \cdot \sin(\alpha)) = 2d(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))$

Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для угла $\alpha$:

$P = 2d \left( \cos\left(\frac{90^\circ p}{p+q}\right) + \sin\left(\frac{90^\circ p}{p+q}\right) \right)$

Это выражение является окончательным решением.

Ответ: $P = 2d \left( \cos\left(\frac{90^\circ p}{p+q}\right) + \sin\left(\frac{90^\circ p}{p+q}\right) \right)$.

3.76. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная к боковой стороне, делит ее в отношении $m : n$. Найдите углы треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC = b$. Обозначим углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$ и угол при вершине $\angle ABC = \beta$. Сумма углов треугольника равна $2\alpha + \beta = 180^\circ$.

Пусть $AH$ — высота, опущенная из вершины $A$ на боковую сторону $BC$. Положение точки $H$ на прямой, содержащей сторону $BC$, зависит от величины угла $\beta$. Возможны два случая.

Случай 1: Угол при вершине $\beta$ — острый ($\beta < 90^\circ$).

В этом случае основание высоты $H$ лежит на самой боковой стороне $BC$. Высота $AH$ делит сторону $BC$ на отрезки $BH$ и $CH$. Формулировка "делит ее в отношении $m:n$" может означать два варианта.

1.1. Отношение отрезков считается от вершины B: $BH:HC = m:n$.

Из этого отношения следует, что $BH = \frac{m}{m+n}BC = \frac{m}{m+n}b$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle AHB = 90^\circ$). Из определения косинуса имеем:$\cos \beta = \frac{BH}{AB} = \frac{\frac{m}{m+n}b}{b} = \frac{m}{m+n}$.Тогда угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{m}{m+n}\right)$.Углы при основании $\alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.Найдем косинус угла $\alpha$:$\cos \alpha = \cos\left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) = \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$.Используя формулу половинного угла $\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos\beta}{2}}$, получаем:$\cos \alpha = \sqrt{\frac{1 - \frac{m}{m+n}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{m+n-m}{m+n}}{2}} = \sqrt{\frac{n}{2(m+n)}}$.Тогда угол при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{n}{2(m+n)}}\right)$.

Ответ: Угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{m}{m+n}\right)$, углы при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{n}{2(m+n)}}\right)$.

1.2. Отношение отрезков считается от вершины C: $CH:BH = m:n$.

Этот случай аналогичен предыдущему, если поменять местами $m$ и $n$.$\cos \beta = \frac{n}{m+n}$.Тогда угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{n}{m+n}\right)$.А косинус угла при основании:$\cos \alpha = \sqrt{\frac{m}{2(m+n)}}$.Тогда угол при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{m}{2(m+n)}}\right)$.

Ответ: Угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{n}{m+n}\right)$, углы при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{m}{2(m+n)}}\right)$.

Случай 2: Угол при вершине $\beta$ — тупой ($\beta > 90^\circ$).

В этом случае основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $BC$ за вершину $B$. Тогда "деление стороны" следует понимать как отношение расстояний от точки $H$ до концов отрезка $BC$, то есть до точек $B$ и $C$. Точки на прямой расположены в порядке $H, B, C$.

2.1. Отношение расстояний $HB:HC = m:n$.

Так как $HC = HB + BC = HB + b$, то $\frac{HB}{HB+b} = \frac{m}{n}$.Отсюда $n \cdot HB = m \cdot (HB+b) \implies (n-m)HB = mb \implies HB = \frac{mb}{n-m}$.Для того чтобы точка $H$ находилась на продолжении за точку $B$, расстояние $HB$ должно быть положительным. Так как $m, b > 0$, это требует, чтобы $n-m > 0$, то есть $n > m$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle ABH = 180^\circ - \beta$.$\cos(180^\circ - \beta) = \frac{HB}{AB} = \frac{\frac{mb}{n-m}}{b} = \frac{m}{n-m}$.Поскольку $\cos(180^\circ - \beta) = -\cos\beta$, имеем $\cos\beta = -\frac{m}{n-m} = \frac{m}{m-n}$.Для тупого угла $\beta$ должно выполняться условие $-1 < \cos\beta < 0$.$\frac{m}{m-n} < 0$ выполняется при $m < n$ (так как $m>0$).Условие $\frac{m}{m-n} > -1$ преобразуется в $m < -(m-n)$ (так как $m-n < 0$), что дает $m < -m+n$, или $2m < n$.Следовательно, этот случай возможен только при $n > 2m$.Угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{m}{m-n}\right)$.Косинус угла при основании $\alpha$:$\cos\alpha = \sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos\beta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{m}{m-n}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{m-n-m}{m-n}}{2}} = \sqrt{\frac{-n}{2(m-n)}} = \sqrt{\frac{n}{2(n-m)}}$.Угол при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{n}{2(n-m)}}\right)$.

Ответ: Если $n > 2m$, то возможно еще одно решение: угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{m}{m-n}\right)$, углы при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{n}{2(n-m)}}\right)$.

2.2. Отношение расстояний $HC:HB = m:n$.

Этот случай аналогичен предыдущему с заменой $m$ и $n$.Такое решение возможно при условии $m > 2n$.Угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{n}{n-m}\right)$.Угол при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{m}{2(m-n)}}\right)$.

Ответ: Если $m > 2n$, то возможно еще одно решение: угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{n}{n-m}\right)$, углы при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{m}{2(m-n)}}\right)$.

3.77. В равнобедренном треугольнике даны основание $a$ и угол при основании $\alpha$. Найдите медиану, опущенную к боковой стороне.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Боковые стороны треугольника равны: $AB = BC$.

Проведем медиану $AM$ к боковой стороне $BC$. Требуется найти длину медианы $AM$, которую обозначим как $m_b$.

Решение

1. Сначала найдем длину боковой стороны $b = BC$. Для этого проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому $HC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$. Из прямоугольного треугольника $BHC$ имеем:

$ \cos(\alpha) = \frac{HC}{BC} = \frac{a/2}{BC} $

Отсюда выразим длину боковой стороны $BC$:

$ BC = b = \frac{a}{2 \cos\alpha} $

2. Теперь рассмотрим треугольник $AMC$. В нем известны две стороны и угол между ними:

• Сторона $AC = a$.
• Сторона $MC$ равна половине боковой стороны $BC$, так как $AM$ — медиана: $MC = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2 \cos\alpha} = \frac{a}{4 \cos\alpha}$.
• Угол между этими сторонами $\angle MCA = \alpha$.

3. Применим теорему косинусов для нахождения стороны $AM$ (медианы $m_b$):

$ m_b^2 = AM^2 = AC^2 + MC^2 - 2 \cdot AC \cdot MC \cdot \cos(\angle MCA) $

Подставим известные значения:

$ AM^2 = a^2 + \left(\frac{a}{4 \cos\alpha}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{4 \cos\alpha} \cdot \cos\alpha $

Упростим выражение:

$ AM^2 = a^2 + \frac{a^2}{16 \cos^2\alpha} - \frac{2a^2 \cos\alpha}{4 \cos\alpha} $

$ AM^2 = a^2 + \frac{a^2}{16 \cos^2\alpha} - \frac{a^2}{2} $

$ AM^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{16 \cos^2\alpha} $

Приведем к общему знаменателю:

$ AM^2 = \frac{8a^2 \cos^2\alpha}{16 \cos^2\alpha} + \frac{a^2}{16 \cos^2\alpha} = \frac{8a^2 \cos^2\alpha + a^2}{16 \cos^2\alpha} = \frac{a^2(1 + 8\cos^2\alpha)}{16 \cos^2\alpha} $

4. Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину медианы $AM$:

$ AM = \sqrt{\frac{a^2(1 + 8\cos^2\alpha)}{16 \cos^2\alpha}} = \frac{a \sqrt{1 + 8\cos^2\alpha}}{4 \cos\alpha} $

Ответ: $ \frac{a}{4 \cos\alpha} \sqrt{1 + 8\cos^2\alpha} $

3.78. В треугольнике даны стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$ между ними. Найдите высоту, опущенную к третьей стороне.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны стороны $AC = b$, $BC = a$ и угол между ними $\angle C = \alpha$. Требуется найти высоту $h$, опущенную из вершины $C$ на третью сторону $AB$. Обозначим третью сторону $AB = c$.

Для решения задачи воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле с использованием двух сторон и угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \alpha$.

С другой стороны, площадь того же треугольника можно выразить через основание $c$ и высоту $h$, опущенную на это основание: $S = \frac{1}{2}ch$.

Приравнивая два выражения для площади, получаем равенство: $\frac{1}{2}ch = \frac{1}{2}ab \sin \alpha$, из которого следует: $ch = ab \sin \alpha$. Отсюда можно выразить искомую высоту $h$: $h = \frac{ab \sin \alpha}{c}$.

В полученной формуле неизвестной является длина третьей стороны $c$. Чтобы ее найти, применим теорему косинусов для того же треугольника: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha$. Следовательно, длина третьей стороны равна: $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha}$.

Теперь подставим найденное выражение для стороны $c$ в формулу для высоты $h$: $h = \frac{ab \sin \alpha}{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha}}$. Это и есть окончательная формула для высоты, опущенной на третью сторону.

Ответ: $h = \frac{ab \sin\alpha}{\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}}$

3.79. В ромб, площадь которого равна $S$, вписана окружность с радиусом $r$. Найдите острый угол ромба.

Пусть $a$ — сторона ромба, $h$ — его высота, а $\alpha$ — острый угол. Площадь ромба $S$ можно вычислить по двум формулам:
1. Через сторону и высоту: $S = a \cdot h$.
2. Через сторону и синус угла между сторонами: $S = a^2 \sin\alpha$.

Поскольку в ромб вписана окружность радиусом $r$, его высота равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной ромба $a$ (гипотенуза), высотой $h$ (противолежащий катет) и острым углом ромба $\alpha$.

Из этого треугольника синус острого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $h$ к гипотенузе $a$:
$\sin\alpha = \frac{h}{a}$
Подставив $h = 2r$, получаем:
$\sin\alpha = \frac{2r}{a}$
Отсюда выразим сторону ромба $a$:
$a = \frac{2r}{\sin\alpha}$

Теперь подставим это выражение для стороны $a$ в формулу площади $S = a^2 \sin\alpha$:
$S = \left(\frac{2r}{\sin\alpha}\right)^2 \sin\alpha$
$S = \frac{4r^2}{\sin^2\alpha} \cdot \sin\alpha$
$S = \frac{4r^2}{\sin\alpha}$

Из полученного равенства $S = \frac{4r^2}{\sin\alpha}$ выразим $\sin\alpha$:
$\sin\alpha = \frac{4r^2}{S}$
Следовательно, искомый острый угол ромба $\alpha$ находится через арксинус:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{4r^2}{S}\right)$

Ответ: $\alpha = \arcsin\left(\frac{4r^2}{S}\right)$

3.80. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $ \alpha $, а радиус вписанной в него окружности равен $ r $. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а угол при вершине $\angle B = \alpha$. Тогда углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.Пусть $r$ — радиус вписанной окружности, а $R$ — искомый радиус описанной окружности.Центры вписанной ($I$) и описанной ($O$) окружностей в равнобедренном треугольнике лежат на высоте (которая также является биссектрисой и медианой), проведенной из вершины $B$ к основанию $AC$. Обозначим эту высоту как $BH$.

Сначала выразим одну из сторон треугольника через известные величины $r$ и $\alpha$. Проще всего найти длину основания $AC$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $AIH$. В нем катет $IH$ равен радиусу вписанной окружности $r$. Центр вписанной окружности $I$ является точкой пересечения биссектрис, поэтому $AI$ — биссектриса угла $A$. Таким образом, угол $\angle IAH$ равен половине угла $A$:$\angle IAH = \frac{\angle A}{2} = \frac{90^\circ - \alpha/2}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике $AIH$ находим катет $AH$, который является половиной основания $AC$:$AH = IH \cdot \cot(\angle IAH) = r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.Следовательно, длина основания $AC = 2 \cdot AH = 2r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.

Далее, для нахождения радиуса описанной окружности $R$ применим обобщенную теорему синусов к треугольнику $ABC$:$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = 2R$.Подставляя выражение для $AC$ и $\angle B = \alpha$, получаем:$2R = \frac{2r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})}{\sin \alpha}$.Отсюда $R = \frac{r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})}{\sin \alpha}$.

Теперь необходимо упростить полученное тригонометрическое выражение. Воспользуемся формулой для котангенса разности и формулами двойного угла:$\cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) = \frac{1+\tan(\frac{\alpha}{4})}{1-\tan(\frac{\alpha}{4})} = \frac{1+\frac{\sin(\alpha/4)}{\cos(\alpha/4)}}{1-\frac{\sin(\alpha/4)}{\cos(\alpha/4)}} = \frac{\cos(\frac{\alpha}{4})+\sin(\frac{\alpha}{4})}{\cos(\frac{\alpha}{4})-\sin(\frac{\alpha}{4})}$.Умножим числитель и знаменатель на $\cos(\frac{\alpha}{4})+\sin(\frac{\alpha}{4})$:$\frac{(\cos(\frac{\alpha}{4})+\sin(\frac{\alpha}{4}))^2}{\cos^2(\frac{\alpha}{4})-\sin^2(\frac{\alpha}{4})} = \frac{\cos^2(\frac{\alpha}{4})+\sin^2(\frac{\alpha}{4})+2\sin(\frac{\alpha}{4})\cos(\frac{\alpha}{4})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.Подставим это упрощенное выражение обратно в формулу для $R$:$R = \frac{r}{\sin \alpha} \cdot \frac{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.Используя формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, получим:$R = \frac{r}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{r(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2})}$.Наконец, применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = (1-\sin(\frac{\alpha}{2}))(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$:$R = \frac{r(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})(1-\sin(\frac{\alpha}{2}))(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}$.Так как угол $\alpha$ находится в пределах от $0$ до $180^\circ$, то $\sin(\frac{\alpha}{2}) > 0$ и $1+\sin(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$. Сократив дробь на $(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$, получаем окончательный результат.

Ответ: $R = \frac{r}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})(1-\sin(\frac{\alpha}{2}))}$.

3.81. В треугольнике ABC угол A равен $\alpha$, стороны AB и AC равны c и b соответственно $(b>c)$. Найдите отрезок биссектрисы внешнего угла A, ограниченный прямой BC.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны угол $\angle A = \alpha$, сторона $AB = c$ и сторона $AC = b$, причем $b > c$.Пусть $AD$ — биссектриса внешнего угла при вершине $A$. Обозначим ее длину как $l_a'$.Поскольку $b > c$, то есть $AC > AB$, то против большей стороны лежит больший угол, следовательно, $\angle B > \angle C$.Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ пересекает продолжение стороны $BC$ за точку $B$. Обозначим точку пересечения как $D$. Таким образом, точка $B$ лежит между точками $D$ и $C$.

Изобразим данную конфигурацию на рисунке. Продлим сторону $CA$ за вершину $A$ до точки $K$. Тогда $\angle KAB$ — внешний угол при вершине $A$, и $AD$ является его биссектрисой.

Для нахождения длины отрезка $AD$ воспользуемся методом площадей.Точки $D, B, C$ лежат на одной прямой, поэтому площадь треугольника $ADC$ равна сумме площадей треугольников $ADB$ и $ABC$:$S_{ADC} = S_{ADB} + S_{ABC}$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

1. Площадь треугольника $ABC$:$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} bc \sin\alpha$

2. Найдем углы для других треугольников.Внешний угол при вершине $A$ — это $\angle KAB$. Он смежен с углом $\angle BAC$, поэтому $\angle KAB = 180^\circ - \alpha$.Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle KAB$, то $\angle KAD = \angle DAB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.Угол $\angle DAC$ состоит из углов $\angle DAB$ и $\angle BAC$:$\angle DAC = \angle DAB + \angle BAC = (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) + \alpha = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.

3. Площадь треугольника $ADB$:Стороны $AD=l_a'$ и $AB=c$, угол между ними $\angle DAB = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.$S_{ADB} = \frac{1}{2} AD \cdot AB \cdot \sin(\angle DAB) = \frac{1}{2} l_a' c \sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2} l_a' c \cos(\frac{\alpha}{2})$

4. Площадь треугольника $ADC$:Стороны $AD=l_a'$ и $AC=b$, угол между ними $\angle DAC = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.$S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC \cdot \sin(\angle DAC) = \frac{1}{2} l_a' b \sin(90^\circ + \frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2} l_a' b \cos(\frac{\alpha}{2})$

5. Подставим выражения для площадей в исходное равенство:$\frac{1}{2} l_a' b \cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2} l_a' c \cos(\frac{\alpha}{2}) + \frac{1}{2} bc \sin\alpha$

Умножим обе части уравнения на 2:$l_a' b \cos(\frac{\alpha}{2}) = l_a' c \cos(\frac{\alpha}{2}) + bc \sin\alpha$

Перенесем члены с $l_a'$ в левую часть:$l_a' b \cos(\frac{\alpha}{2}) - l_a' c \cos(\frac{\alpha}{2}) = bc \sin\alpha$$l_a' (b-c) \cos(\frac{\alpha}{2}) = bc \sin\alpha$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin\alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$.$l_a' (b-c) \cos(\frac{\alpha}{2}) = bc \cdot 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$

Поскольку $0 < \alpha < 180^\circ$, то $0 < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$, и $\cos(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$. Можем разделить обе части на $\cos(\frac{\alpha}{2})$:$l_a' (b-c) = 2bc \sin(\frac{\alpha}{2})$

Наконец, выразим $l_a'$. Так как по условию $b > c$, то $b-c \neq 0$.$l_a' = \frac{2bc}{b-c} \sin(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: Длина отрезка биссектрисы внешнего угла $A$, ограниченного прямой $BC$, равна $l_a' = \frac{2bc}{b-c} \sin\frac{\alpha}{2}$.

3.82. На стороны угла с вершиной в точке $O$ из внутренней точки $A$ опущены перпендикуляры $AB$ и $AC$. Найдите $AB$ и $AC$, если $\angle BOC=\alpha$, $OB=m$, $OC=n$.

Рассмотрим данный угол $∠BOC = α$ с вершиной в точке O. Из внутренней точки A на стороны угла опущены перпендикуляры AB и AC. Это означает, что B лежит на луче OB, C лежит на луче OC, и при этом $∠OBA = 90°$ и $∠OCA = 90°$. По условию, длины отрезков от вершины до оснований перпендикуляров равны $OB = m$ и $OC = n$.

Рассмотрим четырехугольник OBAC. Сумма его углов $∠OBA$ и $∠OCA$ равна $90° + 90° = 180°$. Так как сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, вокруг него можно описать окружность. Отрезок OA является общей гипотенузой для прямоугольных треугольников $ΔOBA$ и $ΔOCA$, поэтому OA — диаметр этой окружности.

В треугольнике $ΔOBC$ нам известны две стороны $OB=m$, $OC=n$ и угол между ними $∠BOC = α$. По теореме косинусов найдем длину стороны BC:

$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(∠BOC)$

$BC^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cos(α)$

С другой стороны, BC является хордой в окружности, описанной вокруг четырехугольника OBAC. Длина хорды связана с диаметром окружности (который равен OA) и вписанным углом, опирающимся на эту хорду. Угол $∠BOC = α$ является вписанным углом, опирающимся на хорду BC. Следовательно:

$BC = OA \cdot \sin(∠BOC) = OA \cdot \sin(α)$

Возведем это выражение в квадрат:

$BC^2 = OA^2 \sin^2(α)$

Приравняем два полученных выражения для $BC^2$:

$OA^2 \sin^2(α) = m^2 + n^2 - 2mn \cos(α)$

Отсюда выразим $OA^2$:

$OA^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn \cos(α)}{\sin^2(α)}$

Теперь мы можем найти длины искомых перпендикуляров AB и AC, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $ΔOBA$ и $ΔOCA$.

Для $ΔOBA$:

$AB^2 = OA^2 - OB^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn \cos(α)}{\sin^2(α)} - m^2$

$AB^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn \cos(α) - m^2 \sin^2(α)}{\sin^2(α)}$

$AB^2 = \frac{m^2(1 - \sin^2(α)) + n^2 - 2mn \cos(α)}{\sin^2(α)}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(α) = 1 - \sin^2(α)$, получаем:

$AB^2 = \frac{m^2 \cos^2(α) - 2mn \cos(α) + n^2}{\sin^2(α)} = \frac{(n - m \cos(α))^2}{\sin^2(α)}$

Извлекая квадратный корень, находим длину AB:

$AB = \frac{|n - m \cos(α)|}{|\sin(α)|}$

Для $ΔOCA$:

$AC^2 = OA^2 - OC^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn \cos(α)}{\sin^2(α)} - n^2$

$AC^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn \cos(α) - n^2 \sin^2(α)}{\sin^2(α)}$

$AC^2 = \frac{m^2 + n^2(1 - \sin^2(α)) - 2mn \cos(α)}{\sin^2(α)}$

$AC^2 = \frac{m^2 - 2mn \cos(α) + n^2 \cos^2(α)}{\sin^2(α)} = \frac{(m - n \cos(α))^2}{\sin^2(α)}$

Извлекая квадратный корень, находим длину AC:

$AC = \frac{|m - n \cos(α)|}{|\sin(α)|}$

Поскольку угол $α$ находится внутри геометрической фигуры, можно считать, что $0 < α < 180°$, поэтому $\sin(α) > 0$.

Ответ: $AB = \frac{|n - m \cos(α)|}{\sin(α)}$, $AC = \frac{|m - n \cos(α)|}{\sin(α)}$.

3.83. В треугольнике длины двух сторон равны $a$ и $b$, а биссектриса угла между ними равна $l$. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором стороны $AB = a$ и $AC = b$. Пусть $AD=l$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Обозначим угол $\angle BAC$ как $2\alpha$, тогда биссектриса делит его на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$.

Площадь $S$ треугольника $ABC$ можно найти, используя формулу площади через две стороны и синус угла между ними:$S = \frac{1}{2} ab \sin(2\alpha)$.

С другой стороны, площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ACD$, на которые его делит биссектриса $AD$.Площади этих треугольников равны:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} al \sin(\alpha)$$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} bl \sin(\alpha)$

Таким образом, $S = S_{ABD} + S_{ACD} = \frac{1}{2} al \sin(\alpha) + \frac{1}{2} bl \sin(\alpha) = \frac{1}{2}l(a+b)\sin(\alpha)$.

Теперь приравняем два полученных выражения для площади $S$:$\frac{1}{2} ab \sin(2\alpha) = \frac{1}{2}l(a+b)\sin(\alpha)$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:$\frac{1}{2} ab \cdot (2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) = \frac{1}{2}l(a+b)\sin(\alpha)$.

Для невырожденного треугольника угол $2\alpha$ находится в интервале $(0, \pi)$, поэтому $\alpha \in (0, \pi/2)$ и $\sin(\alpha) \neq 0$. Сократим обе части равенства на $\frac{1}{2}\sin(\alpha)$:$2ab \cos(\alpha) = l(a+b)$.

Отсюда выразим $\cos(\alpha)$:$\cos(\alpha) = \frac{l(a+b)}{2ab}$.

Теперь найдем $\sin(\alpha)$ через основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Поскольку $\alpha \in (0, \pi/2)$, то $\sin(\alpha) > 0$:$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{l(a+b)}{2ab}\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2b^2 - l^2(a+b)^2}{4a^2b^2}} = \frac{\sqrt{4a^2b^2 - l^2(a+b)^2}}{2ab}$.

Подставим найденное выражение для $\sin(\alpha)$ в формулу площади $S = \frac{1}{2}l(a+b)\sin(\alpha)$:$S = \frac{1}{2}l(a+b) \cdot \frac{\sqrt{4a^2b^2 - l^2(a+b)^2}}{2ab}$.

Упростив выражение, получаем окончательную формулу для площади треугольника:$S = \frac{l(a+b)\sqrt{4a^2b^2 - l^2(a+b)^2}}{4ab}$.

Ответ: Площадь треугольника равна $S = \frac{l(a+b)\sqrt{4a^2b^2 - l^2(a+b)^2}}{4ab}$.

3.84. Зная углы треугольника, найдите угол между медианой и высотой, опущенными из одной вершины.

Пусть дан треугольник $ABC$ с углами $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$. Из вершины $A$ к стороне $BC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$. Нам необходимо найти угол $\delta = \angle HAM$.

Для наглядности приведем рисунок. Будем считать, что углы $\beta$ и $\gamma$ острые и $\beta > \gamma$.

Поскольку $AH$ — высота, треугольник $AHM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. В этом треугольнике тангенс искомого угла $\delta$ равен отношению противолежащего катета $HM$ к прилежащему катету $AH$:

$\tan\delta = \tan(\angle HAM) = \frac{HM}{AH}$

Выразим длину отрезка $HM$ через длину высоты $AH$ и углы треугольника. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $AHB$ и $AHC$.

Из $\triangle AHB$ (прямоугольного в $H$) имеем: $BH = \frac{AH}{\tan\beta} = AH\cot\beta$.

Из $\triangle AHC$ (прямоугольного в $H$) имеем: $CH = \frac{AH}{\tan\gamma} = AH\cot\gamma$.

Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BH$ и $CH$ (в случае остроугольного треугольника):

$BC = BH + CH = AH(\cot\beta + \cot\gamma)$

Поскольку $AM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно:

$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2}AH(\cot\beta + \cot\gamma)$

Если предположить, что $\beta > \gamma$, то сторона $AC > AB$. В этом случае основание высоты $H$ лежит между точками $B$ и $M$. Тогда длина отрезка $HM$ равна разности длин $BM$ и $BH$:

$HM = BM - BH = \frac{1}{2}AH(\cot\beta + \cot\gamma) - AH\cot\beta = \frac{1}{2}AH(\cot\gamma - \cot\beta)$

Если же $\gamma > \beta$, то точка $H$ будет лежать между $M$ и $C$, и тогда $HM = CM - CH$. Расчеты приведут к результату $HM = \frac{1}{2}AH(\cot\beta - \cot\gamma)$. Чтобы объединить оба случая, используем модуль разности:

$HM = \frac{1}{2}AH|\cot\beta - \cot\gamma|$

Эта формула верна и для тупоугольных треугольников. Например, если угол $\beta$ тупой, то точка $B$ окажется между $H$ и $C$, и тогда $BC = CH - BH$. При этом $\cot\beta$ будет отрицательным, и итоговая формула для $HM$ останется прежней.

Теперь подставим выражение для $HM$ в формулу для тангенса угла $\delta$:

$\tan\delta = \frac{HM}{AH} = \frac{\frac{1}{2}AH|\cot\beta - \cot\gamma|}{AH} = \frac{|\cot\beta - \cot\gamma|}{2}$

Таким образом, мы нашли тангенс искомого угла. Сам угол $\delta$ равен арктангенсу этого выражения.

Выражение для тангенса можно также преобразовать, используя тригонометрические тождества:

$\frac{|\cot\beta - \cot\gamma|}{2} = \frac{1}{2}\left|\frac{\cos\beta}{\sin\beta} - \frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}\right| = \frac{1}{2}\left|\frac{\sin\gamma\cos\beta - \cos\gamma\sin\beta}{\sin\beta\sin\gamma}\right| = \frac{|\sin(\gamma - \beta)|}{2\sin\beta\sin\gamma} = \frac{|\sin(\beta - \gamma)|}{2\sin\beta\sin\gamma}$

Заметим, что если $\beta = \gamma$, то треугольник $ABC$ равнобедренный, и высота $AH$ совпадает с медианой $AM$. В этом случае угол между ними равен нулю. Наша формула это подтверждает: $\tan\delta = \frac{|\cot\beta - \cot\beta|}{2} = 0$, откуда $\delta=0$.

Ответ:
Если медиана и высота проведены из вершины с углом $\alpha$, а два других угла треугольника равны $\beta$ и $\gamma$, то угол $\delta$ между медианой и высотой можно найти по формуле:

$\delta = \arctan\left(\frac{|\cot\beta - \cot\gamma|}{2}\right)$

или в эквивалентной форме:

$\delta = \arctan\left(\frac{|\sin(\beta - \gamma)|}{2\sin\beta\sin\gamma}\right)$