Страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.1. Длина окружности с радиусом $R$ равна $C$. Заполните таблицу:

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей длину окружности $C$ и ее радиус $R$:
$C = 2 \pi R$
Из этой формулы также следует, что радиус можно найти по формуле:
$R = \frac{C}{2 \pi}$

Вычислим недостающие значения для каждого столбца.

При R = 2:
Длина окружности $C$ равна $C = 2 \pi \cdot 2 = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$.

При R = 5:
Длина окружности $C$ равна $C = 2 \pi \cdot 5 = 10\pi$.
Ответ: $10\pi$.

При C = 4π:
Радиус $R$ равен $R = \frac{4\pi}{2\pi} = 2$.
Ответ: $2$.

При R = $\frac{2}{7\pi}$:
Длина окружности $C$ равна $C = 2 \pi \cdot \frac{2}{7\pi} = \frac{4\pi}{7\pi} = \frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{4}{7}$.

При C = 27:
Радиус $R$ равен $R = \frac{27}{2\pi}$.
Ответ: $\frac{27}{2\pi}$.

При R = $\sqrt{3}$:
Длина окружности $C$ равна $C = 2 \pi \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\pi$.
Ответ: $2\sqrt{3}\pi$.

При C = 6,25:
Радиус $R$ равен $R = \frac{6,25}{2\pi}$. Можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4}$. Тогда $R = \frac{25/4}{2\pi} = \frac{25}{8\pi}$.
Ответ: $\frac{25}{8\pi}$.

Итоговая заполненная таблица:

4.2. Найдите диаметр дерева, обхват которого равен:

1) 2 м;

2) 1,5 м.

Для решения этой задачи мы будем считать, что ствол дерева имеет круглое поперечное сечение. Обхват дерева в этом случае — это длина окружности $C$. Длина окружности связана с её диаметром $d$ по формуле $C = \pi d$. Чтобы найти диаметр, зная обхват, мы можем выразить его из этой формулы: $d = \frac{C}{\pi}$. В расчетах будем использовать значение $\pi \approx 3,14159$.

1) Найти диаметр дерева, обхват которого равен 2 м.
Подставим значение обхвата $C = 2$ м в формулу:
$d = \frac{2}{\pi} \approx 0,6366$ м.
Округлим результат до сотых: $0,64$ м.
Ответ: диаметр дерева примерно равен 0,64 м.

2) Найти диаметр дерева, обхват которого равен 1,5 м.
Подставим значение обхвата $C = 1,5$ м в формулу:
$d = \frac{1,5}{\pi} \approx 0,4775$ м.
Округлим результат до сотых: $0,48$ м.
Ответ: диаметр дерева примерно равен 0,48 м.

4.3. Сторона правильного треугольника равна 3 см. Найдите радиус:

1) описанной окружности;

2) вписанной окружности.

Дано: правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 3$ см.

Для решения задачи воспользуемся формулами для радиусов вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника. Центр вписанной и описанной окружностей в правильном треугольнике совпадает.

1) описанной окружности

Радиус $R$ описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$R = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ или $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставим в формулу известное значение стороны $a = 3$ см:
$R = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{3}$
Сократив 3 в числителе и знаменателе, получаем:
$R = \sqrt{3}$ см.
Ответ: $\sqrt{3}$ см.

2) вписанной окружности

Радиус $r$ вписанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ или $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
Подставим в формулу значение стороны $a = 3$ см:
$r = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{6}$
Сократив дробь на 3, получаем:
$r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
Стоит отметить, что для правильного треугольника радиус описанной окружности всегда в два раза больше радиуса вписанной ($R = 2r$). Мы можем проверить наш результат: $r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Результаты совпадают.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

4.4. Сторона квадрата равна 4 см. Найдите длины:

1) описанной окружности;

2) вписанной окружности.

Пусть сторона квадрата равна $a$. По условию задачи $a = 4$ см. Для наглядности представим квадрат с вписанной и описанной окружностями.

1) описанной окружности
Диаметр описанной окружности $D$ равен диагонали квадрата $d$. Диагональ квадрата со стороной $a$ находится по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Подставим значение стороны квадрата $a=4$ см:
$D = d = 4\sqrt{2}$ см.
Длина описанной окружности $L$ вычисляется по формуле $L = \pi D$.
$L = \pi \cdot 4\sqrt{2} = 4\pi\sqrt{2}$ см.
Ответ: $4\pi\sqrt{2}$ см.

2) вписанной окружности
Диаметр вписанной окружности $D$ равен стороне квадрата $a$.
$D = a = 4$ см.
Длина вписанной окружности $L$ вычисляется по формуле $L = \pi D$.
$L = \pi \cdot 4 = 4\pi$ см.
Ответ: $4\pi$ см.

4.5. Найдите длину дуги, по которой проходит конец минутной стрелки часов длиной 5 см за:

1) 5 мин;

2) 20 мин;

3) 1 ч.

Для решения задачи воспользуемся формулой длины дуги окружности: $l = \alpha \cdot r$, где $r$ — радиус окружности, а $\alpha$ — центральный угол, выраженный в радианах. В данном случае радиус равен длине минутной стрелки, то есть $r = 5$ см. Минутная стрелка совершает полный оборот (угол $2\pi$ радиан) за 60 минут.

1) 5 мин

За 5 минут стрелка пройдет часть полного круга, равную $\frac{5}{60} = \frac{1}{12}$.Найдем соответствующий этому времени угол в радианах:$\alpha = \frac{1}{12} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{6}$ радиан.Теперь вычислим длину дуги:$l = \alpha \cdot r = \frac{\pi}{6} \cdot 5 = \frac{5\pi}{6}$ см.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$ см.

2) 20 мин

За 20 минут стрелка пройдет часть полного круга, равную $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$.Найдем соответствующий этому времени угол в радианах:$\alpha = \frac{1}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi}{3}$ радиан.Теперь вычислим длину дуги:$l = \alpha \cdot r = \frac{2\pi}{3} \cdot 5 = \frac{10\pi}{3}$ см.
Ответ: $\frac{10\pi}{3}$ см.

3) 1 ч

1 час — это 60 минут. За это время минутная стрелка совершает один полный оборот. Угол поворота равен $2\pi$ радиан.В этом случае длина дуги равна длине всей окружности, которую можно найти по формуле $C = 2\pi r$:$l = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.
Ответ: $10\pi$ см.

4.6. Найдите длину дуги окружности радиусом 15 см, соответствующей центральному углу:

1) $30^\circ$;

2) $40^\circ$;

3) $\frac{\pi}{5}$;

4) $\frac{2\pi}{3}$.

Для нахождения длины дуги окружности используется формула, зависящая от того, в каких единицах измеряется центральный угол. Радиус окружности по условию задачи $ R = 15 $ см.

Если центральный угол $ \alpha $ задан в градусах, то длина дуги $ l $ вычисляется по формуле:

$ l = \frac{\pi R \alpha}{180} $

Если центральный угол $ \beta $ задан в радианах, то формула для длины дуги $ l $ имеет более простой вид:

$ l = R \beta $

Решим каждый пункт задачи.

1) Дан центральный угол $ \alpha = 30^\circ $.

Так как угол дан в градусах, используем соответствующую формулу:

$ l = \frac{\pi \cdot 15 \cdot 30}{180} = \frac{450\pi}{180} = \frac{5\pi}{2} = 2.5\pi $ см.

Ответ: $ 2.5\pi $ см.

2) Дан центральный угол $ \alpha = 40^\circ $.

Используем формулу для угла в градусах:

$ l = \frac{\pi \cdot 15 \cdot 40}{180} = \frac{600\pi}{180} = \frac{10\pi}{3} $ см.

Ответ: $ \frac{10\pi}{3} $ см.

3) Дан центральный угол $ \beta = \frac{\pi}{5} $.

Поскольку угол задан в радианах, используем формулу $ l = R \beta $:

$ l = 15 \cdot \frac{\pi}{5} = 3\pi $ см.

Ответ: $ 3\pi $ см.

4) Дан центральный угол $ \beta = \frac{2\pi}{3} $.

Угол задан в радианах, поэтому применяем формулу $ l = R \beta $:

$ l = 15 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{30\pi}{3} = 10\pi $ см.

Ответ: $ 10\pi $ см.

4.7. Найдите центральный угол, соответствующий

1) $ \frac{1}{3} $;

2) $ \frac{1}{4} $;

3) $ \frac{1}{5} $;

4) $ \frac{1}{6} $;

5) $ \frac{2}{3} $;

6) $ \frac{3}{4} $ длины окружности.

Полная окружность соответствует центральному углу в $360^\circ$. Длина дуги окружности прямо пропорциональна величине соответствующего ей центрального угла. Следовательно, чтобы найти центральный угол, соответствующий некоторой части длины окружности, нужно эту часть (дробь) умножить на $360^\circ$.

1) Для $\frac{1}{3}$ длины окружности центральный угол равен:

$\frac{1}{3} \cdot 360^\circ = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

2) Для $\frac{1}{4}$ длины окружности центральный угол равен:

$\frac{1}{4} \cdot 360^\circ = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.

3) Для $\frac{1}{5}$ длины окружности центральный угол равен:

$\frac{1}{5} \cdot 360^\circ = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$

Ответ: $72^\circ$.

4) Для $\frac{1}{6}$ длины окружности центральный угол равен:

$\frac{1}{6} \cdot 360^\circ = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.

5) Для $\frac{2}{3}$ длины окружности центральный угол равен:

$\frac{2}{3} \cdot 360^\circ = 2 \cdot \frac{360^\circ}{3} = 2 \cdot 120^\circ = 240^\circ$

Ответ: $240^\circ$.

6) Для $\frac{3}{4}$ длины окружности центральный угол равен:

$\frac{3}{4} \cdot 360^\circ = 3 \cdot \frac{360^\circ}{4} = 3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$

Ответ: $270^\circ$.

4.8. Когда телега проехала 942 м пути, то ее колесо совершило 300 полных оборотов. Каков диаметр колеса?

За один полный оборот колесо проходит расстояние, равное длине его окружности. Обозначим длину окружности как $C$.

Весь пройденный путь $S$ можно вычислить, умножив длину окружности $C$ на количество совершенных оборотов $N$:
$S = N \cdot C$

По условию задачи, общий путь $S = 942$ м, а количество оборотов $N = 300$. Найдем длину окружности колеса:
$C = \frac{S}{N} = \frac{942 \text{ м}}{300} = 3.14 \text{ м}$

Длина окружности $C$ и ее диаметр $d$ связаны формулой:
$C = \pi \cdot d$

Из этой формулы выразим и найдем диаметр колеса. Будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3.14$:
$d = \frac{C}{\pi} = \frac{3.14 \text{ м}}{3.14} = 1 \text{ м}$

Ответ: 1 м.