Страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Постройте окружность с помощью некоторого тела круглой формы (чашки или пиалы) и найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью

Для решения этой задачи выполним следующие шаги:

1. Построение окружности

Возьмем лист бумаги и предмет с круглым основанием, например, чашку. Поставим чашку на лист и аккуратно обведем ее основание карандашом. В результате на бумаге получится изображение окружности.

Ответ: На листе бумаги построена окружность.

2. Нахождение центра и радиуса окружности

Чтобы найти площадь круга, ограниченного этой окружностью, нам необходимо знать его радиус. Поскольку мы рисовали окружность не циркулем, ее центр нам неизвестен. Найдем его геометрическим методом.

а) Внутри окружности произвольно проведем две хорды (отрезки, соединяющие две любые точки на окружности), которые не параллельны друг другу. Назовем их AB и CD.

б) Для каждой хорды найдем ее середину с помощью линейки и построим серединный перпендикуляр. Это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Построить перпендикуляр можно с помощью угольника или транспортира.

в) Точка пересечения двух серединных перпендикуляров и будет являться центром окружности. Обозначим эту точку буквой O.

г) С помощью линейки измерим расстояние от центра O до любой точки на окружности. Это и есть радиус $R$.

Процесс нахождения центра показан на рисунке:

Допустим, в результате измерений мы получили, что радиус нашей окружности равен 4 см.

Ответ: Радиус окружности $R = 4$ см.

3. Вычисление площади круга

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — это радиус круга, а число $\pi$ (пи) — это математическая константа, которую для расчетов мы примем равной 3,14.

Подставим измеренное значение радиуса в формулу:

$S = \pi R^2 \approx 3,14 \cdot (4 \text{ см})^2 = 3,14 \cdot 16 \text{ см}^2 = 50,24 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь круга, ограниченного построенной окружностью, составляет приблизительно 50,24 см².

4.22. Заполните с помощью формулы выражения площади круга S, ограниченного окружностью с радиусом R.

R:

, , $\frac{3}{\sqrt{\pi}}$, 2, 5, ,

S:

$4\pi$, $25\pi$, , , , 9, 11

Для решения этой задачи используется формула площади круга $S$ с радиусом $R$: $S = \pi R^2$.
Из этой формулы также можно выразить радиус через площадь: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$, так как радиус не может быть отрицательным.

Выполним вычисления для каждой пустой ячейки таблицы.

Для первого столбца (дано $S = 4\pi$)

Находим радиус $R$, используя формулу $R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$:
$R = \sqrt{\frac{4\pi}{\pi}} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: $R = 2$.

Для второго столбца (дано $S = 25\pi$)

Находим радиус $R$:
$R = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{25\pi}{\pi}} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: $R = 5$.

Для третьего столбца (дано $R = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$)

Находим площадь $S$, используя формулу $S = \pi R^2$:
$S = \pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3^2}{(\sqrt{\pi})^2} = \pi \cdot \frac{9}{\pi} = 9$.
Ответ: $S = 9$.

Для четвертого столбца (дано $R = 2$)

Находим площадь $S$:
$S = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.
Ответ: $S = 4\pi$.

Для пятого столбца (дано $R = 5$)

Находим площадь $S$:
$S = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$.
Ответ: $S = 25\pi$.

Для шестого столбца (дано $S = 9$)

Находим радиус $R$:
$R = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$.
Ответ: $R = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$.

Для седьмого столбца (дано $S = 11$)

Находим радиус $R$:
$R = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{11}{\pi}}$.
Ответ: $R = \sqrt{\frac{11}{\pi}}$.

Итоговая заполненная таблица:

4.23. Как изменится площадь соответствующего круга, если: 1) уменьшить его радиус в два раза; 2) увеличить его радиус в три раза?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади круга: $S = \pi r^2$, где $S$ — это площадь, а $r$ — это радиус круга. Эта формула показывает, что площадь круга зависит от квадрата его радиуса.

1) уменьшить его радиус в два раза

Пусть первоначальный радиус круга был $r_1$, а его площадь — $S_1 = \pi r_1^2$.

После уменьшения радиуса в два раза новый радиус $r_2$ станет равен $r_2 = \frac{r_1}{2}$.

Теперь найдем новую площадь $S_2$, подставив новый радиус в формулу:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi \left(\frac{r_1}{2}\right)^2 = \pi \frac{r_1^2}{4} = \frac{1}{4} (\pi r_1^2)$

Так как $S_1 = \pi r_1^2$, то мы можем выразить новую площадь через первоначальную: $S_2 = \frac{1}{4} S_1$.

Это означает, что площадь круга уменьшилась в 4 раза.

Ответ: площадь уменьшится в 4 раза.

2) увеличить его радиус в три раза

Пусть первоначальный радиус круга был $r_1$, а его площадь — $S_1 = \pi r_1^2$.

После увеличения радиуса в три раза новый радиус $r_2$ станет равен $r_2 = 3r_1$.

Найдем новую площадь $S_2$, подставив новый радиус в формулу:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (3r_1)^2 = \pi (9r_1^2) = 9(\pi r_1^2)$

Так как $S_1 = \pi r_1^2$, то мы можем выразить новую площадь через первоначальную: $S_2 = 9S_1$.

Это означает, что площадь круга увеличилась в 9 раз.

Ответ: площадь увеличится в 9 раз.

4.24. Сторона правильного $n$-угольника равна $a$. Вычислите площадь описанного около него и вписанного в него круга, если $n=3; 4; 6$.

Для решения задачи найдём радиусы вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей для правильного $n$-угольника со стороной $a$. Затем вычислим площади соответствующих кругов по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром многоугольника O, вершиной A и серединой M стороны, прилежащей к этой вершине. В этом треугольнике:

• Катет OM равен радиусу вписанной окружности $r$.
• Катет AM равен половине стороны многоугольника, то есть $a/2$.
• Гипотенуза OA равна радиусу описанной окружности $R$.
• Угол AOM равен половине центрального угла, то есть $(360^\circ/n)/2 = 180^\circ/n$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике получаем:

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{AM}{\tan(\angle AOM)} = \frac{a/2}{\tan(180^\circ/n)}$.

Площадь вписанного круга: $S_{вписанного} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{a}{2\tan(180^\circ/n)} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\tan^2(180^\circ/n)}$.

Радиус описанной окружности: $R = \frac{AM}{\sin(\angle AOM)} = \frac{a/2}{\sin(180^\circ/n)}$.

Площадь описанного круга: $S_{описанного} = \pi R^2 = \pi \left( \frac{a}{2\sin(180^\circ/n)} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(180^\circ/n)}$.

Теперь применим эти формулы для конкретных значений $n$.

n=3 (правильный треугольник)

Угол $180^\circ/n = 180^\circ/3 = 60^\circ$.

Площадь вписанного круга:

$S_{вписанного} = \frac{\pi a^2}{4\tan^2(60^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(\sqrt{3})^2} = \frac{\pi a^2}{12}$.

Площадь описанного круга:

$S_{описанного} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(60^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{\pi a^2}{4(3/4)} = \frac{\pi a^2}{3}$.

Ответ: площадь описанного круга $S_{описанного} = \frac{\pi a^2}{3}$, площадь вписанного круга $S_{вписанного} = \frac{\pi a^2}{12}$.

n=4 (квадрат)

Угол $180^\circ/n = 180^\circ/4 = 45^\circ$.

Площадь вписанного круга:

$S_{вписанного} = \frac{\pi a^2}{4\tan^2(45^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(1)^2} = \frac{\pi a^2}{4}$.

Площадь описанного круга:

$S_{описанного} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(45^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(1/\sqrt{2})^2} = \frac{\pi a^2}{4(1/2)} = \frac{\pi a^2}{2}$.

Ответ: площадь описанного круга $S_{описанного} = \frac{\pi a^2}{2}$, площадь вписанного круга $S_{вписанного} = \frac{\pi a^2}{4}$.

n=6 (правильный шестиугольник)

Угол $180^\circ/n = 180^\circ/6 = 30^\circ$.

Площадь вписанного круга:

$S_{вписанного} = \frac{\pi a^2}{4\tan^2(30^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(1/\sqrt{3})^2} = \frac{\pi a^2}{4(1/3)} = \frac{3\pi a^2}{4}$.

Площадь описанного круга:

$S_{описанного} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(30^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(1/2)^2} = \frac{\pi a^2}{4(1/4)} = \pi a^2$.

Ответ: площадь описанного круга $S_{описанного} = \pi a^2$, площадь вписанного круга $S_{вписанного} = \frac{3\pi a^2}{4}$.

4.25. Каково отношение диаметров двух кругов, если отношение их площадей равно $2:3$?

Пусть у нас есть два круга. Обозначим их площади как $S_1$ и $S_2$, а их диаметры как $d_1$ и $d_2$.

По условию задачи дано отношение площадей этих кругов:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2}{3}$

Площадь круга вычисляется по формуле через его диаметр $d$ следующим образом:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Запишем площади первого и второго кругов, используя эту формулу:

$S_1 = \frac{\pi d_1^2}{4}$

$S_2 = \frac{\pi d_2^2}{4}$

Теперь составим отношение их площадей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{\pi d_1^2}{4}}{\frac{\pi d_2^2}{4}}$

В этом выражении мы можем сократить $\pi$ и 4:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$

Мы получили, что отношение площадей кругов равно квадрату отношения их диаметров. Подставим известное нам значение отношения площадей:

$\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 = \frac{2}{3}$

Чтобы найти отношение диаметров $\frac{d_1}{d_2}$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Следовательно, отношение диаметров $d_1$ к $d_2$ равно $\sqrt{2}$ к $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{2}:\sqrt{3}$

4.26. Сектор с центральным углом $45^\circ$ имеет площадь $1 \text{ м}^2$.

Найдите радиус соответствующего круга.

Площадь сектора круга вычисляется по формуле:$S_{\text{сектора}} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$,где $R$ — это радиус круга, а $\alpha$ — это центральный угол сектора, выраженный в градусах.

В условии задачи дано, что площадь сектора $S_{\text{сектора}} = 1 \text{ м}^2$, а центральный угол $\alpha = 45^{\circ}$. Мы можем подставить эти значения в формулу, чтобы найти неизвестный радиус $R$.

$1 = \frac{\pi R^2 \cdot 45}{360}$

Сначала упростим дробь $\frac{45}{360}$. Заметим, что $360 = 8 \cdot 45$. Таким образом:$\frac{45}{360} = \frac{1}{8}$

Теперь наше уравнение принимает более простой вид:$1 = \frac{\pi R^2}{8}$

Чтобы выразить $R^2$, умножим обе части уравнения на 8:$8 = \pi R^2$

Затем разделим обе части на $\pi$:$R^2 = \frac{8}{\pi}$

Для нахождения радиуса $R$ необходимо извлечь квадратный корень из полученного выражения. Поскольку радиус не может быть отрицательным, мы берем только положительное значение корня:$R = \sqrt{\frac{8}{\pi}}$

Ответ: Радиус соответствующего круга равен $\sqrt{\frac{8}{\pi}} \text{ м}$.

4.27. Какую часть площади круга составляет площадь сектора, центральный угол которого равен:

1) $30^\circ$;

2) $45^\circ$;

3) $60^\circ$;

4) $90^\circ$;

5) $180^\circ$;

6) $300^\circ$?

Площадь всего круга соответствует полному центральному углу в $360^{\circ}$. Площадь сектора круга прямо пропорциональна величине его центрального угла. Следовательно, чтобы определить, какую часть площади круга составляет площадь сектора, необходимо найти отношение центрального угла этого сектора к углу полного круга.

Если обозначить центральный угол сектора буквой $\alpha$, то искомая часть будет равна дроби: $\frac{\alpha}{360^{\circ}}$.

1) Для центрального угла $\alpha = 30^{\circ}$ получаем:
$\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{30}{360} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Для центрального угла $\alpha = 45^{\circ}$ получаем:
$\frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{45}{360} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$.

3) Для центрального угла $\alpha = 60^{\circ}$ получаем:
$\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{60}{360} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$.

4) Для центрального угла $\alpha = 90^{\circ}$ получаем:
$\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{90}{360} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

5) Для центрального угла $\alpha = 180^{\circ}$ получаем:
$\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{180}{360} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.

6) Для центрального угла $\alpha = 300^{\circ}$ получаем:
$\frac{300^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{300}{360} = \frac{30}{36} = \frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$.

4.28. Вычислите площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями, указанными в задаче 4.24.

Для вычисления площади кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями, необходимо найти радиусы этих окружностей. В задаче 4.24 указан равнобедренный треугольник со следующими параметрами:

• основание $a = 10$ см;
• боковая сторона $b = 13$ см.

Площадь кольца ($S_{кольца}$) вычисляется как разность площадей описанного ($S_R$) и вписанного ($S_r$) кругов:

$S_{кольца} = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$

где $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Ниже представлен ход решения.

Решение:

1. Найдем характеристики треугольника.

Высота $h$, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка по $a/2 = 10/2 = 5$ см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и половиной основания:

$h^2 + (a/2)^2 = b^2$

$h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь треугольника ($S_{\triangle}$):

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

Полупериметр треугольника ($p$):

$p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{10 + 13 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

2. Найдем радиусы вписанной и описанной окружностей.

Радиус вписанной окружности ($r$):

$r = \frac{S_{\triangle}}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

Радиус описанной окружности ($R$):

$R = \frac{abc}{4S_{\triangle}} = \frac{10 \cdot 13 \cdot 13}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24}$ см.

3. Вычислим площадь кольца.

Подставим найденные значения $R$ и $r$ в формулу площади кольца:

$S_{кольца} = \pi(R^2 - r^2) = \pi \left( \left(\frac{169}{24}\right)^2 - \left(\frac{10}{3}\right)^2 \right)$

$S_{кольца} = \pi \left( \frac{28561}{576} - \frac{100}{9} \right)$

Приведем дроби к общему знаменателю 576 ($9 \cdot 64 = 576$):

$S_{кольца} = \pi \left( \frac{28561}{576} - \frac{100 \cdot 64}{9 \cdot 64} \right) = \pi \left( \frac{28561 - 6400}{576} \right) = \pi \frac{22161}{576}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3:

$S_{кольца} = \pi \frac{22161 \div 3}{576 \div 3} = \pi \frac{7387}{192}$

Данная дробь является несократимой.

Ответ: $S_{кольца} = \frac{7387 \pi}{192}$ см².

4.29. Хорда, проведенная на расстоянии $h$ от центра окружности с радиусом $R$, делит круг на две части (сегменты). Найдите площадь этих частей ($h < R$).

Хорда, проведенная в круге радиуса $R$ на расстоянии $h$ от центра, делит круг на два круговых сегмента. Площадь любого сегмента можно найти как разность площади соответствующего ему сектора и площади треугольника, образованного радиусами, проведенными к концам хорды.

Пусть хорда — это $AB$, центр круга — $O$, а $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на хорду $AB$. Тогда по условию $OM = h$. Радиусы, проведенные к концам хорды, равны $R$, то есть $OA = OB = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔOMA$. В нем гипотенуза $OA = R$ и катет $OM = h$.

Площадь меньшего сегмента

Площадь меньшего сегмента $S_1$ равна разности площади сектора $AOB$ и площади треугольника $ΔAOB$.

$S_1 = S_{сектор AOB} - S_{ΔAOB}$

1. Найдем центральный угол $∠AOB$. Пусть половина этого угла $∠AOM = α$. Из треугольника $ΔOMA$ имеем:$\cos(α) = \frac{OM}{OA} = \frac{h}{R}$Отсюда $α = \arccos\left(\frac{h}{R}\right)$. Угол $α$ выражен в радианах.Полный центральный угол, стягиваемый хордой $AB$, равен $2α = 2\arccos\left(\frac{h}{R}\right)$.

2. Площадь сектора $AOB$ вычисляется по формуле $S_{сектор} = \frac{1}{2}R^2(2α) = R^2α$. Подставив значение $α$, получим:$S_{сектор AOB} = R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right)$

3. Площадь равнобедренного треугольника $ΔAOB$ равна $S_{ΔAOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OM$. Длину $AB$ найдем через $AM$. По теореме Пифагора в $ΔOMA$:$AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{R^2 - h^2}$Так как $M$ — середина хорды $AB$, то $AB = 2 \cdot AM = 2\sqrt{R^2 - h^2}$.Тогда площадь треугольника:$S_{ΔAOB} = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{R^2 - h^2}) \cdot h = h\sqrt{R^2 - h^2}$

4. Теперь найдем площадь меньшего сегмента:$S_1 = S_{сектор AOB} - S_{ΔAOB} = R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right) - h\sqrt{R^2 - h^2}$

Ответ: $R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right) - h\sqrt{R^2 - h^2}$

Площадь большего сегмента

Площадь большего сегмента $S_2$ можно найти, вычтя площадь меньшего сегмента $S_1$ из общей площади круга $S_{круга} = \pi R^2$.

$S_2 = S_{круга} - S_1$$S_2 = \pi R^2 - \left(R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right) - h\sqrt{R^2 - h^2}\right)$$S_2 = \pi R^2 - R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right) + h\sqrt{R^2 - h^2}$

Ответ: $\pi R^2 - R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right) + h\sqrt{R^2 - h^2}$

4.30. Решите предыдущую задачу при условии, что хорда соответствует центральному углу $ \alpha $ и радиус окружности равен $ R $.

Поскольку условие задачи 4.30 ссылается на предыдущую задачу (4.29), которая не предоставлена, будет представлено общее решение для нахождения всех основных величин, связанных с хордой в окружности. Рассмотрим окружность с центром в точке O и радиусом R. Хорда AB стягивает дугу, которой соответствует центральный угол $\angle AOB = \alpha$. Во всех формулах предполагается, что угол $\alpha$ измеряется в радианах.

Длина хорды

Рассмотрим равнобедренный треугольник AOB, в котором стороны OA и OB равны радиусу R, а угол между ними $\angle AOB = \alpha$. Длину хорды AB ($L_{хорды}$) можно найти по теореме косинусов:
$L_{хорды}^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos\alpha = 2R^2(1 - \cos\alpha)$
Применим формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:
$L_{хорды}^2 = 2R^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4R^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$
Извлекая квадратный корень, получаем длину хорды:
$L_{хорды} = 2R\sin(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $L_{хорды} = 2R\sin(\frac{\alpha}{2})$

Длина дуги

Длина дуги окружности ($L_{дуги}$), соответствующей центральному углу $\alpha$ (выраженному в радианах), вычисляется как произведение радиуса на величину этого угла.

Ответ: $L_{дуги} = R\alpha$

Площадь сектора

Площадь кругового сектора ($S_{сектора}$), ограниченного дугой AB и двумя радиусами OA и OB, пропорциональна центральному углу $\alpha$. Для угла в радианах формула имеет вид:

Ответ: $S_{сектора} = \frac{1}{2}R^2\alpha$

Площадь сегмента

Площадь кругового сегмента ($S_{сегмента}$) — это разность между площадью сектора и площадью треугольника AOB.
Площадь треугольника AOB вычисляется по формуле: $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \sin\alpha = \frac{1}{2}R^2\sin\alpha$.
Следовательно, площадь сегмента равна:
$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}R^2\alpha - \frac{1}{2}R^2\sin\alpha = \frac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha)$

Ответ: $S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha)$

Расстояние от центра до хорды

Расстояние от центра окружности O до хорды AB — это длина перпендикуляра OH, опущенного из центра на хорду. Этот перпендикуляр является также медианой и биссектрисой в равнобедренном треугольнике AOB. В прямоугольном треугольнике OHA ($\angle OHA = 90^\circ$) угол $\angle AOH = \frac{\alpha}{2}$. Расстояние $d=OH$ можно найти через косинус этого угла:
$d = OH = OA \cdot \cos(\angle AOH) = R\cos(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $d = R\cos(\frac{\alpha}{2})$