Страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.43. Докажите, что:

1) любая трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная;

2) любой параллелограмм, вписанный в окружность, есть прямоугольник;

3) любой ромб, вписанный в окружность, есть квадрат.

1)

Пусть в окружность вписана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Есть два способа доказать это утверждение:

Способ 1: Через дуги и хорды

По свойству окружности, дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. Так как хорды $AD$ и $BC$ параллельны, то дуги $AB$ и $CD$, стягиваемые боковыми сторонами трапеции, равны: $◡AB = ◡CD$.

Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, по определению является равнобедренной.

Способ 2: Через углы

Поскольку трапеция $ABCD$ вписана в окружность, она является вписанным четырехугольником. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

В то же время, по свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, так как они являются односторонними внутренними углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущих $AB$ и $CD$. Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Сравнивая два равенства, $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle A + \angle B = 180^\circ$, получаем, что $\angle C = \angle B$.

Трапеция, у которой углы при одном основании равны, является равнобедренной.

Ответ: любая трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.

2)

Пусть в окружность вписан параллелограмм $ABCD$.

По свойству параллелограмма, его противолежащие углы равны: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

Поскольку параллелограмм $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. То есть, $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Объединим эти два условия для углов $A$ и $C$: у нас есть система уравнений $\angle A = \angle C$ и $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Подставив первое уравнение во второе, получаем: $\angle A + \angle A = 180^\circ$, что дает $2\angle A = 180^\circ$, и, следовательно, $\angle A = 90^\circ$.

Так как $\angle C = \angle A$, то $\angle C = 90^\circ$. Аналогично для углов $B$ и $D$ из условий $\angle B = \angle D$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$ следует, что $\angle B = \angle D = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого все углы прямые ($90^\circ$), является прямоугольником.

Ответ: любой параллелограмм, вписанный в окружность, есть прямоугольник.

3)

Пусть в окружность вписан ромб $ABCD$.

По определению, ромб является параллелограммом. Из доказательства в пункте 2 мы знаем, что любой параллелограмм, вписанный в окружность, является прямоугольником. Следовательно, вписанный ромб $ABCD$ также должен быть прямоугольником.

Таким образом, фигура $ABCD$ обладает свойствами и ромба, и прямоугольника:

• Все стороны равны (свойство ромба).
• Все углы прямые (свойство прямоугольника).

Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, по определению является квадратом.

Ответ: любой ромб, вписанный в окружность, есть квадрат.

4.44. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, стороны которого, взятые в последовательном порядке, пропорциональны числам:

1) $2, 2, 3, 3$;

2) $2, 5, 3, 4$;

3) $3, 5, 3, 1$?

Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Это свойство известно как теорема Пито для описанного четырехугольника.

Пусть стороны четырехугольника, взятые в последовательном порядке, равны $a, b, c, d$. Тогда условие возможности вписать окружность имеет вид: $a + c = b + d$.

Поскольку стороны четырехугольника пропорциональны заданным числам $n_1, n_2, n_3, n_4$, их длины можно записать как $a = k \cdot n_1, b = k \cdot n_2, c = k \cdot n_3, d = k \cdot n_4$, где $k$ — некоторый положительный коэффициент пропорциональности. Условие $a + c = b + d$ тогда принимает вид $k \cdot n_1 + k \cdot n_3 = k \cdot n_2 + k \cdot n_4$. Сокращая обе части на $k > 0$, получаем эквивалентное условие для самих чисел: $n_1 + n_3 = n_2 + n_4$.

Проверим это условие для каждого случая. Также необходимо, чтобы четырехугольник с такими сторонами мог существовать, то есть длина наибольшей стороны должна быть меньше суммы длин трех остальных сторон.

1) Стороны пропорциональны числам 2, 2, 3, 3.

Пусть $n_1=2, n_2=2, n_3=3, n_4=3$. Проверим равенство сумм противолежащих сторон:$n_1 + n_3 = 2 + 3 = 5$$n_2 + n_4 = 2 + 3 = 5$Поскольку $5=5$, условие выполняется. Неравенство четырехугольника также выполняется, так как наибольшая сторона (пропорциональная 3) меньше суммы трех других (пропорциональных $2+2+3=7$). Следовательно, в такой четырехугольник можно вписать окружность.
Ответ: можно.

2) Стороны пропорциональны числам 2, 5, 3, 4.

Пусть $n_1=2, n_2=5, n_3=3, n_4=4$. Проверим равенство сумм противолежащих сторон:$n_1 + n_3 = 2 + 3 = 5$$n_2 + n_4 = 5 + 4 = 9$Поскольку $5 \neq 9$, условие не выполняется. Следовательно, в такой четырехугольник нельзя вписать окружность.
Ответ: нельзя.

3) Стороны пропорциональны числам 3, 5, 3, 1.

Пусть $n_1=3, n_2=5, n_3=3, n_4=1$. Проверим равенство сумм противолежащих сторон:$n_1 + n_3 = 3 + 3 = 6$$n_2 + n_4 = 5 + 1 = 6$Поскольку $6=6$, условие выполняется. Неравенство четырехугольника также выполняется, так как наибольшая сторона (пропорциональная 5) меньше суммы трех других (пропорциональных $3+3+1=7$). Следовательно, в такой четырехугольник можно вписать окружность.
Ответ: можно.

4.45. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр четырехугольника.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство описанного четырехугольника. Согласно теореме Пито, четырехугольник является описанным тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Пусть стороны четырехугольника последовательно равны $a, b, c$ и $d$. Тогда пары противоположных сторон — это ($a, c$) и ($b, d$). Для описанного четырехугольника выполняется равенство: $a + c = b + d$

По условию задачи, сумма двух противоположных сторон равна 15 см. Пусть это будут стороны $a$ и $c$: $a + c = 15$ см.

Исходя из свойства описанного четырехугольника, сумма двух других противоположных сторон ($b$ и $d$) также равна 15 см: $b + d = 15$ см.

Периметр четырехугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c + d$

Мы можем сгруппировать слагаемые, чтобы использовать известные нам суммы: $P = (a + c) + (b + d)$

Подставим значения сумм в формулу периметра: $P = 15 \text{ см} + 15 \text{ см} = 30 \text{ см}$

Ответ: 30 см.

4.46. Постройте прямоугольник по радиусу описанной окружности и углу между диагоналями.

Задача состоит в построении прямоугольника по двум заданным элементам: отрезку, равному радиусу $R$ описанной окружности, и углу $α$, равному углу между диагоналями.

Анализ

Рассмотрим свойства прямоугольника, которые помогут в построении. Диагонали прямоугольника равны, в точке пересечения делятся пополам и являются диаметрами описанной около него окружности. Центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Пусть $ABCD$ — искомый прямоугольник, а $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $O$ является центром описанной окружности, а отрезки $OA, OB, OC, OD$ равны ее радиусу $R$. Длина каждой диагонали равна $2R$. Угол между диагоналями — это, например, $∠AOB$ или $∠BOC$. Эти углы являются смежными, поэтому $∠AOB + ∠BOC = 180°$. Если один из них равен заданному углу $α$, то другой равен $180° - α$. Для построения можно выбрать любой из них.

Таким образом, задача сводится к построению двух диаметров окружности радиуса $R$, пересекающихся под углом $α$. Концы этих диаметров будут являться вершинами искомого прямоугольника.

Построение

Пусть нам даны отрезок длины $R$ и угол $α$.

1. Выберем на плоскости произвольную точку $O$, которая будет центром описанной окружности.

2. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным данному отрезку $R$.

3. Проведем через точку $O$ произвольную прямую. Точки ее пересечения с окружностью обозначим $A$ и $C$. Отрезок $AC$ будет первой диагональю прямоугольника.

4. Построим вторую прямую, проходящую через точку $O$ и образующую с прямой $AC$ угол, равный данному углу $α$. Это можно сделать, отложив от луча $OC$ (или любого другого из четырех лучей $OA, OB, OC, OD$) угол $α$. Точки пересечения этой новой прямой с окружностью обозначим $B$ и $D$. Отрезок $BD$ будет второй диагональю.

5. Последовательно соединим отрезками точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником.

Доказательство

Построенный четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R$, так как все его вершины $A, B, C, D$ по построению лежат на этой окружности.

Диагонали $AC$ и $BD$ являются диаметрами этой окружности, так как они проходят через ее центр $O$. Следовательно, они равны по длине ($AC=BD=2R$) и в точке пересечения делятся пополам.

Угол между диагоналями $AC$ и $BD$ по построению равен $α$.

Любой четырехугольник, вписанный в окружность, диагонали которого являются ее диаметрами, есть прямоугольник. Это следует из того, что каждый угол такого четырехугольника (например, $∠ABC$) опирается на дугу, являющуюся полуокружностью (дуга $ADC$). Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, является прямым ($90°$). Так как все четыре угла четырехугольника $ABCD$ прямые, то $ABCD$ — прямоугольник.

Таким образом, построенный прямоугольник $ABCD$ имеет описанную окружность радиуса $R$ и угол между диагоналями $α$, то есть является искомым.

Ответ: Искомый прямоугольник строится следующим образом: сначала строится окружность заданного радиуса $R$, затем в ней проводятся два диаметра под заданным углом $α$ друг к другу. Концы этих диаметров, соединенные последовательно, образуют вершины искомого прямоугольника.

4.47. Постройте ромб по стороне и радиусу вписанной окружности.

Анализ

Для построения ромба по заданной стороне $a$ и радиусу вписанной окружности $r$ воспользуемся следующими свойствами ромба:

1. Все стороны ромба равны $a$.

2. Высота ромба $h$, которая является расстоянием между его противолежащими параллельными сторонами, равна диаметру вписанной окружности. Таким образом, $h = 2r$.

Из этих свойств следует, что построение возможно только в том случае, если сторона ромба не меньше его высоты, то есть должно выполняться условие $a \ge h$, или $a \ge 2r$. Если это условие не выполняется ($a < 2r$), то построить такой ромб невозможно. В случае равенства $a = 2r$, высота ромба равна его стороне, что означает, что все углы прямые, и ромб является квадратом.

Построение

1. Построим две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, расстояние между которыми равно высоте ромба $h=2r$. Для этого проведем произвольную прямую, восстановим к ней перпендикуляр, отложим на нем отрезок длиной $2r$ и через концы этого отрезка проведем две прямые, перпендикулярные ему.
2. На прямой $l_1$ выберем произвольную точку $A$. Это будет первая вершина ромба.
3. Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $a$. Эта дуга пересечет прямую $l_2$ в некоторой точке $B$. Отрезок $AB$ будет одной из сторон ромба. (Если $a > 2r$, будет две точки пересечения; можно выбрать любую из них).
4. Теперь построим сторону, смежную со стороной $AB$. Вершина $D$ должна лежать на прямой $l_1$ на расстоянии $a$ от вершины $A$. Для этого из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом $a$ до пересечения с прямой $l_1$. Одну из точек пересечения назовем $D$.
5. Для нахождения четвертой вершины $C$ отложим на прямой $l_2$ от точки $B$ отрезок $BC$, равный по длине и сонаправленный отрезку $AD$.
6. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ и есть искомый ромб.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

1. Точки $A$ и $D$ лежат на прямой $l_1$, а точки $B$ и $C$ — на прямой $l_2$. Так как $l_1 || l_2$, то стороны $AD$ и $BC$ параллельны.

2. По построению, длина отрезка $AD$ равна $a$. Длина и направление отрезка $BC$ были выбраны такими же, как у $AD$, следовательно, $BC=a$ и $BC || AD$. Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Значит, $ABCD$ — параллелограмм.

3. В параллелограмме $ABCD$ смежные стороны $AB$ и $AD$ равны $a$ по построению. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

4. Сторона построенного ромба равна $a$. Его высота, как расстояние между параллельными прямыми $l_1$ и $l_2$, на которых лежат стороны $AD$ и $BC$, равна $2r$. Следовательно, радиус вписанной в него окружности равен $r$.

Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ является ромбом с заданной стороной $a$ и радиусом вписанной окружности $r$.

Ответ: Алгоритм построения и его доказательство приведены выше. Построение основано на том факте, что высота ромба равна удвоенному радиусу вписанной в него окружности.

4.48. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.

4.48. Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, в который можно вписать окружность. Нам нужно доказать, что $ABCD$ является ромбом.

Воспользуемся двумя основными свойствами: свойством параллелограмма и свойством описанного четырехугольника (четырехугольника, в который можно вписать окружность).

1. По определению, параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны. Для нашего параллелограмма $ABCD$ это означает:
$AB = CD$ и $BC = AD$.

2. Согласно свойству описанного четырехугольника (теорема Пи́то), если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашего четырехугольника $ABCD$ это означает:
$AB + CD = BC + AD$.

Теперь объединим эти два свойства. Подставим равенства из свойства параллелограмма ($CD = AB$ и $AD = BC$) в равенство из свойства описанного четырехугольника:
$AB + (AB) = BC + (BC)$
$2 \cdot AB = 2 \cdot BC$

Разделив обе части уравнения на 2, получаем:
$AB = BC$

Мы получили, что две смежные стороны параллелограмма равны. Так как в параллелограмме противоположные стороны также равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), то из равенства $AB = BC$ следует, что все стороны параллелограмма равны между собой:
$AB = BC = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

Таким образом, мы доказали, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4.49. Докажите, что ромб, около которого можно описать окружность, является квадратом.

Пусть дан ромб. По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Также у ромба равны противоположные углы. Обозначим углы ромба как $ \angle A, \angle B, \angle C, \angle D $. Тогда $ \angle A = \angle C $ и $ \angle B = \angle D $.

По условию, около этого ромба можно описать окружность. Это означает, что ромб является вписанным четырехугольником. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, для нашего ромба выполняются следующие условия:
$ \angle A + \angle C = 180^\circ $
$ \angle B + \angle D = 180^\circ $

Теперь воспользуемся свойствами ромба. Подставим $ \angle C = \angle A $ в первое уравнение:
$ \angle A + \angle A = 180^\circ $
$ 2\angle A = 180^\circ $
$ \angle A = 90^\circ $
Так как $ \angle A = \angle C $, то и $ \angle C = 90^\circ $.

Аналогично, подставим $ \angle D = \angle B $ во второе уравнение:
$ \angle B + \angle B = 180^\circ $
$ 2\angle B = 180^\circ $
$ \angle B = 90^\circ $
Так как $ \angle B = \angle D $, то и $ \angle D = 90^\circ $.

В результате мы получили, что у данного ромба все углы прямые ($90^\circ$). Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если около ромба можно описать окружность, то он является вписанным четырехугольником, а значит, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Так как у ромба противоположные углы равны между собой, то каждый из них должен быть равен $90^\circ$. Ромб с прямыми углами по определению является квадратом.

4.50. В прямоугольнике диагональ образует с одной из сторон угол в 30°, а радиус окружности, описанной около него, равен $R$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Диагональ прямоугольника $d$ является диаметром описанной около него окружности. По условию, радиус описанной окружности равен $R$, следовательно, длина диагонали прямоугольника составляет $d = 2R$.

Диагональ образует со сторонами прямоугольника прямоугольный треугольник, катетами которого являются стороны прямоугольника $a$ и $b$, а гипотенузой — диагональ $d$.

По условию, диагональ образует с одной из сторон угол в $30^\circ$. Пусть это будет угол между диагональю $d$ и стороной $b$. В прямоугольном треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона. Углы в этом треугольнике равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Меньшим острым углом является угол $30^\circ$. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника $a$ лежит напротив угла в $30^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: синус угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $30^\circ$:$ \sin(30^\circ) = \frac{a}{d} $

Отсюда можно выразить меньшую сторону $a$:$ a = d \cdot \sin(30^\circ) $

Подставим известные значения $d = 2R$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:$ a = 2R \cdot \frac{1}{2} = R $

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна $R$. Для полноты решения найдем и вторую сторону $b$:$ b = d \cdot \cos(30^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3} $

Поскольку $\sqrt{3} > 1$, то $b > a$, что подтверждает, что меньшая сторона равна $R$.

Ответ: $R$.

4.51. Докажите, что около всякого прямоугольника можно описать окружность.

4.51. Чтобы доказать, что около любого прямоугольника можно описать окружность, нужно показать, что существует точка, равноудаленная от всех его четырех вершин. Эта точка будет являться центром описанной окружности.

Рассмотрим произвольный прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$.

По основному свойству прямоугольника, его диагонали равны между собой и в точке пересечения делятся пополам. Запишем это математически:

1. $AC = BD$ (диагонали равны).
2. $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$ (диагонали делятся пополам в точке пересечения).

Из этих двух утверждений следует, что все четыре отрезка, соединяющие центр с вершинами, равны:$AO = OC = BO = OD$.

Это означает, что точка пересечения диагоналей $O$ находится на одинаковом расстоянии от всех четырех вершин прямоугольника ($A, B, C, D$). Следовательно, можно построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = AO$, которая будет проходить через все вершины прямоугольника.

Таким образом, доказано, что около всякого прямоугольника можно описать окружность.

Альтернативное доказательство:
Согласно теореме о вписанном четырехугольнике, около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
В любом прямоугольнике все углы прямые, т.е. $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.
Найдем суммы противоположных углов:$\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
Так как условие теоремы выполняется, около любого прямоугольника можно описать окружность.

Ответ: Доказано.

4.52. Боковая сторона равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 14 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция, её боковые стороны равны. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а боковые стороны как $c$ и $d$.

По условию задачи, трапеция является равнобедренной, следовательно, её боковые стороны равны. Длина боковой стороны составляет 14 см, значит:

$c = d = 14$ см.

Также по условию, трапеция описана около окружности. Для любого четырехугольника, описанного около окружности, справедливо свойство (теорема Пифа): суммы длин противоположных сторон равны. В случае трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

$a + b = c + d$

Подставим известные значения длин боковых сторон в это равенство, чтобы найти сумму оснований:

$a + b = 14 \text{ см} + 14 \text{ см} = 28$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех её сторон:

$P = a + b + c + d$

Мы можем сгруппировать слагаемые следующим образом:

$P = (a + b) + (c + d)$

Теперь подставим найденные значения сумм противоположных сторон:

$P = 28 \text{ см} + (14 \text{ см} + 14 \text{ см})$

$P = 28 \text{ см} + 28 \text{ см} = 56$ см.

Ответ: 56 см.

4.53. Перпендикуляры, проведенные к сторонам угла $AOB$ в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $C$, лежащей внутри этого угла. Докажите, что около четырехугольника $ACBO$ можно описать окружность.

Рассмотрим четырехугольник ACBO. По условию задачи, к сторонам угла $∠AOB$ в точках A и B проведены перпендикуляры, которые пересекаются в точке C.

Перпендикуляр к стороне OA, проведенный в точке A, — это прямая AC. Следовательно, угол между OA и AC прямой: $∠OAC = 90°$.

Аналогично, перпендикуляр к стороне OB, проведенный в точке B, — это прямая BC. Следовательно, угол между OB и BC прямой: $∠OBC = 90°$.

Для того чтобы доказать, что около четырехугольника можно описать окружность, нужно показать, что он является вписанным. Одно из свойств вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противоположных углов равна $180°$.

В четырехугольнике ACBO углы при вершинах A и B ($∠OAC$ и $∠OBC$ соответственно) являются противоположными.

Найдем сумму этих углов:

$∠OAC + ∠OBC = 90° + 90° = 180°$

Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника ACBO равна $180°$, он является вписанным в окружность. Это означает, что все его четыре вершины (A, C, B, O) лежат на одной окружности, то есть около него можно описать окружность.

Ответ: Утверждение доказано. Около четырехугольника ACBO можно описать окружность, так как сумма его противоположных углов $∠OAC$ и $∠OBC$ равна $180°$.