Номер 4.50, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.50. В прямоугольнике диагональ образует с одной из сторон угол в 30°, а радиус окружности, описанной около него, равен $R$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Диагональ прямоугольника $d$ является диаметром описанной около него окружности. По условию, радиус описанной окружности равен $R$, следовательно, длина диагонали прямоугольника составляет $d = 2R$.

Диагональ образует со сторонами прямоугольника прямоугольный треугольник, катетами которого являются стороны прямоугольника $a$ и $b$, а гипотенузой — диагональ $d$.

По условию, диагональ образует с одной из сторон угол в $30^\circ$. Пусть это будет угол между диагональю $d$ и стороной $b$. В прямоугольном треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона. Углы в этом треугольнике равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Меньшим острым углом является угол $30^\circ$. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника $a$ лежит напротив угла в $30^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: синус угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $30^\circ$:$ \sin(30^\circ) = \frac{a}{d} $

Отсюда можно выразить меньшую сторону $a$:$ a = d \cdot \sin(30^\circ) $

Подставим известные значения $d = 2R$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:$ a = 2R \cdot \frac{1}{2} = R $

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна $R$. Для полноты решения найдем и вторую сторону $b$:$ b = d \cdot \cos(30^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3} $

Поскольку $\sqrt{3} > 1$, то $b > a$, что подтверждает, что меньшая сторона равна $R$.

Ответ: $R$.