Номер 4.49, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.49. Докажите, что ромб, около которого можно описать окружность, является квадратом.

Пусть дан ромб. По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Также у ромба равны противоположные углы. Обозначим углы ромба как $ \angle A, \angle B, \angle C, \angle D $. Тогда $ \angle A = \angle C $ и $ \angle B = \angle D $.

По условию, около этого ромба можно описать окружность. Это означает, что ромб является вписанным четырехугольником. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, для нашего ромба выполняются следующие условия:
$ \angle A + \angle C = 180^\circ $
$ \angle B + \angle D = 180^\circ $

Теперь воспользуемся свойствами ромба. Подставим $ \angle C = \angle A $ в первое уравнение:
$ \angle A + \angle A = 180^\circ $
$ 2\angle A = 180^\circ $
$ \angle A = 90^\circ $
Так как $ \angle A = \angle C $, то и $ \angle C = 90^\circ $.

Аналогично, подставим $ \angle D = \angle B $ во второе уравнение:
$ \angle B + \angle B = 180^\circ $
$ 2\angle B = 180^\circ $
$ \angle B = 90^\circ $
Так как $ \angle B = \angle D $, то и $ \angle D = 90^\circ $.

В результате мы получили, что у данного ромба все углы прямые ($90^\circ$). Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если около ромба можно описать окружность, то он является вписанным четырехугольником, а значит, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Так как у ромба противоположные углы равны между собой, то каждый из них должен быть равен $90^\circ$. Ромб с прямыми углами по определению является квадратом.