Номер 4.54, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.54. Если в параллелограмм можно вписать и около него описать окружность, то он является квадратом. Докажите.

Доказательство данного утверждения строится на свойствах описанных и вписанных четырехугольников.
Пусть нам дан параллелограмм, в который можно вписать окружность и около которого можно описать окружность.

1. Сначала воспользуемся тем, что в параллелограмм можно вписать окружность. Четырехугольник является описанным (в него можно вписать окружность) тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Пусть смежные стороны нашего параллелограмма равны $a$ и $b$. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то условие равенства сумм противолежащих сторон будет выглядеть как $a + a = b + b$, что эквивалентно $2a = 2b$, и, следовательно, $a = b$. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Таким образом, из первого условия следует, что наш параллелограмм — это ромб.

2. Теперь воспользуемся тем, что около параллелограмма можно описать окружность. Четырехугольник является вписанным (его можно вписать в окружность) тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^{\circ}$. Пусть один из углов параллелограмма равен $\alpha$. Тогда противолежащий ему угол также равен $\alpha$. По свойству вписанного четырехугольника, их сумма должна быть $180^{\circ}$: $\alpha + \alpha = 180^{\circ}$. Отсюда $2\alpha = 180^{\circ}$, что дает $\alpha = 90^{\circ}$. Если у параллелограмма хотя бы один угол прямой, то и все остальные его углы прямые. Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Таким образом, из второго условия следует, что наш параллелограмм — это прямоугольник.

Итак, мы установили, что данный параллелограмм является одновременно и ромбом (все стороны равны), и прямоугольником (все углы равны $90^{\circ}$). Фигура, которая является и ромбом, и прямоугольником, по определению является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.