Вопросы, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как связаны между собой две взаимно пересекающиеся хорды?

2. Как связаны между собой секущие, проведенные из одной точки?

3. Какая связь между секущей и касательной к окружности, проведенных из одной точки?

4. Назовите основные метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и докажите их.

5. Как определить вид угла в треугольнике (острый, прямой или тупой)?

1. Как связаны между собой две взаимно пересекающиеся хорды?

Это свойство описывается теоремой о пересекающихся хордах. Теорема гласит: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Пусть в окружности хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Тогда, согласно теореме, выполняется равенство: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$.

1. Углы $\angle PAC$ и $\angle PDB$ (или $\angle CAB$ и $\angle CDB$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $CB$. Следовательно, $\angle PAC = \angle PDB$.

2. Углы $\angle ACP$ и $\angle DBP$ (или $\angle ACD$ и $\angle ABD$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $AD$. Следовательно, $\angle ACP = \angle DBP$.

3. Также можно заметить, что углы $\angle APC$ и $\angle DPB$ равны как вертикальные.

По двум углам (например, по п.1 и п.2) треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$ подобны ($\triangle APC \sim \triangle DPB$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB}$

Применяя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

2. Как связаны между собой секущие, проведенные из одной точки?

Это свойство описывается теоремой о двух секущих. Теорема гласит: если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

Пусть из точки $P$ вне окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $A, B$ и $C, D$ соответственно (так, что $P-A-B$ и $P-C-D$). Тогда выполняется равенство: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Доказательство:

Соединим точки $A$ и $D$, а также $B$ и $C$. Рассмотрим треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$.

1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.

2. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. По свойству вписанного четырехугольника, сумма противоположных углов равна $180^\circ$, т.е. $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$. Угол $\angle PCB$ является смежным с углом $\angle BCD$, поэтому $\angle PCB + \angle BCD = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle DAB = \angle PCB$.

По двум углам (общему углу $\angle P$ и равному углу $\angle PAD = \angle PCB$) треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$ подобны ($\triangle PAD \sim \triangle PCB$).

Из подобия следует пропорциональность сторон:

$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$

Применяя основное свойство пропорции, получаем:

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение длины одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на ее внешнюю часть: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

3. Какая связь между секущей и касательной к окружности, проведенных из одной точки?

Это свойство описывается теоремой о касательной и секущей. Теорема гласит: если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длины отрезка секущей от данной точки до дальней точки пересечения на его внешнюю часть.

Пусть из точки $P$ проведены касательная $PT$ (где $T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (так, что $P-A-B$). Тогда выполняется равенство: $PT^2 = PA \cdot PB$.

Доказательство:

Соединим точку $T$ с точками $A$ и $B$. Рассмотрим треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$.

1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.

2. По теореме об угле между касательной и хордой, угол $\angle PTA$ между касательной $PT$ и хордой $AT$ равен вписанному углу $\angle ABT$ (или $\angle PBT$), который опирается на дугу $AT$.

По двум углам (общему углу $\angle P$ и равному углу $\angle PTA = \angle PBT$) треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$ подобны ($\triangle PAT \sim \triangle PTB$).

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB}$

Применяя основное свойство пропорции, получаем:

$PT^2 = PA \cdot PB$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на её внешнюю часть: $PT^2 = PA \cdot PB$.

4. Назовите основные метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и докажите их.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $a$ и $b$ — катеты ($BC$ и $AC$ соответственно), $c$ — гипотенуза ($AB$). Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Обозначим длину высоты $CH$ как $h$, а проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу как $c_a$ ($BH$) и $c_b$ ($AH$).

Основные метрические соотношения:

1. Теорема Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

2. Высота как среднее пропорциональное: Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $h^2 = c_a \cdot c_b$.

3. Катет как среднее пропорциональное: Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot c_a$ и $b^2 = c \cdot c_b$.

4. Связь катетов, гипотенузы и высоты: Произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $a \cdot b = c \cdot h$.

Доказательство:

Высота $CH$ делит прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$. Все три треугольника подобны друг другу: $\triangle ABC \sim \triangle ACH \sim \triangle CBH$.

• $\triangle ACH \sim \triangle ABC$: $\angle A$ — общий, $\angle AHC = \angle ACB = 90^\circ$.

• $\triangle CBH \sim \triangle ABC$: $\angle B$ — общий, $\angle CHB = \angle ACB = 90^\circ$.

Из подобия $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ следует: $\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC} \implies \frac{b}{c} = \frac{c_b}{b} \implies b^2 = c \cdot c_b$.

Из подобия $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ следует: $\frac{BC}{AB} = \frac{BH}{BC} \implies \frac{a}{c} = \frac{c_a}{a} \implies a^2 = c \cdot c_a$.

Из подобия $\triangle ACH \sim \triangle CBH$ следует: $\frac{CH}{BH} = \frac{AH}{CH} \implies \frac{h}{c_a} = \frac{c_b}{h} \implies h^2 = c_a \cdot c_b$.

Теперь докажем теорему Пифагора, сложив два полученных равенства для катетов:

$a^2 + b^2 = c \cdot c_a + c \cdot c_b = c \cdot (c_a + c_b)$.

Так как $c_a + c_b = c$, то получаем $a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2$.

Соотношение $ab=ch$ можно получить из формулы площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ab$ и $S = \frac{1}{2}ch$. Приравнивая их, получаем $ab=ch$.

Ответ: Основные соотношения: $c^2=a^2+b^2$; $h^2=c_a \cdot c_b$; $a^2=c \cdot c_a$; $b^2=c \cdot c_b$; $ab=ch$.

5. Как определить вид угла в треугольнике (острый, прямой или тупой)?

Определить вид угла в треугольнике можно, зная длины его сторон, с помощью следствия из теоремы косинусов.

Теорема косинусов для треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, выглядит так:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Выразим из нее косинус угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Знаменатель дроби $2ab$ всегда положителен (так как $a$ и $b$ — длины сторон). Следовательно, знак $\cos(\gamma)$ зависит только от знака числителя $a^2 + b^2 - c^2$. Вид угла $\gamma$ (в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$) определяется знаком его косинуса.

Отсюда получаем правила для определения вида угла, противолежащего стороне $c$:

1. Прямой угол: Если угол $\gamma = 90^\circ$, то $\cos(\gamma) = 0$. Это возможно, только если $a^2 + b^2 - c^2 = 0$, то есть $c^2 = a^2 + b^2$. Это теорема Пифагора.

2. Острый угол: Если угол $\gamma$ — острый ($0^\circ < \gamma < 90^\circ$), то $\cos(\gamma) > 0$. Это возможно, только если $a^2 + b^2 - c^2 > 0$, то есть $c^2 < a^2 + b^2$.

3. Тупой угол: Если угол $\gamma$ — тупой ($90^\circ < \gamma < 180^\circ$), то $\cos(\gamma) < 0$. Это возможно, только если $a^2 + b^2 - c^2 < 0$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$.

Чтобы определить вид всего треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), достаточно проверить только самый большой угол, который лежит напротив самой длинной стороны. Пусть $c$ — самая длинная сторона треугольника. Тогда:

• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник прямоугольный.

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник остроугольный (так как самый большой угол острый, то и остальные два тем более острые).

• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный.

Ответ: Для определения вида угла, лежащего напротив стороны $c$, нужно сравнить квадрат этой стороны $c^2$ с суммой квадратов двух других сторон $a^2 + b^2$. Если $c^2 < a^2 + b^2$ — угол острый; если $c^2 = a^2 + b^2$ — угол прямой; если $c^2 > a^2 + b^2$ — угол тупой.