Страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как связаны между собой две взаимно пересекающиеся хорды?

2. Как связаны между собой секущие, проведенные из одной точки?

3. Какая связь между секущей и касательной к окружности, проведенных из одной точки?

4. Назовите основные метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и докажите их.

5. Как определить вид угла в треугольнике (острый, прямой или тупой)?

1. Как связаны между собой две взаимно пересекающиеся хорды?

Это свойство описывается теоремой о пересекающихся хордах. Теорема гласит: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Пусть в окружности хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Тогда, согласно теореме, выполняется равенство: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$.

1. Углы $\angle PAC$ и $\angle PDB$ (или $\angle CAB$ и $\angle CDB$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $CB$. Следовательно, $\angle PAC = \angle PDB$.

2. Углы $\angle ACP$ и $\angle DBP$ (или $\angle ACD$ и $\angle ABD$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $AD$. Следовательно, $\angle ACP = \angle DBP$.

3. Также можно заметить, что углы $\angle APC$ и $\angle DPB$ равны как вертикальные.

По двум углам (например, по п.1 и п.2) треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$ подобны ($\triangle APC \sim \triangle DPB$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB}$

Применяя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

2. Как связаны между собой секущие, проведенные из одной точки?

Это свойство описывается теоремой о двух секущих. Теорема гласит: если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

Пусть из точки $P$ вне окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $A, B$ и $C, D$ соответственно (так, что $P-A-B$ и $P-C-D$). Тогда выполняется равенство: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Доказательство:

Соединим точки $A$ и $D$, а также $B$ и $C$. Рассмотрим треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$.

1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.

2. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. По свойству вписанного четырехугольника, сумма противоположных углов равна $180^\circ$, т.е. $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$. Угол $\angle PCB$ является смежным с углом $\angle BCD$, поэтому $\angle PCB + \angle BCD = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle DAB = \angle PCB$.

По двум углам (общему углу $\angle P$ и равному углу $\angle PAD = \angle PCB$) треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$ подобны ($\triangle PAD \sim \triangle PCB$).

Из подобия следует пропорциональность сторон:

$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$

Применяя основное свойство пропорции, получаем:

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение длины одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на ее внешнюю часть: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

3. Какая связь между секущей и касательной к окружности, проведенных из одной точки?

Это свойство описывается теоремой о касательной и секущей. Теорема гласит: если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длины отрезка секущей от данной точки до дальней точки пересечения на его внешнюю часть.

Пусть из точки $P$ проведены касательная $PT$ (где $T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (так, что $P-A-B$). Тогда выполняется равенство: $PT^2 = PA \cdot PB$.

Доказательство:

Соединим точку $T$ с точками $A$ и $B$. Рассмотрим треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$.

1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.

2. По теореме об угле между касательной и хордой, угол $\angle PTA$ между касательной $PT$ и хордой $AT$ равен вписанному углу $\angle ABT$ (или $\angle PBT$), который опирается на дугу $AT$.

По двум углам (общему углу $\angle P$ и равному углу $\angle PTA = \angle PBT$) треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$ подобны ($\triangle PAT \sim \triangle PTB$).

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB}$

Применяя основное свойство пропорции, получаем:

$PT^2 = PA \cdot PB$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на её внешнюю часть: $PT^2 = PA \cdot PB$.

4. Назовите основные метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и докажите их.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $a$ и $b$ — катеты ($BC$ и $AC$ соответственно), $c$ — гипотенуза ($AB$). Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Обозначим длину высоты $CH$ как $h$, а проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу как $c_a$ ($BH$) и $c_b$ ($AH$).

Основные метрические соотношения:

1. Теорема Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

2. Высота как среднее пропорциональное: Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $h^2 = c_a \cdot c_b$.

3. Катет как среднее пропорциональное: Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot c_a$ и $b^2 = c \cdot c_b$.

4. Связь катетов, гипотенузы и высоты: Произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $a \cdot b = c \cdot h$.

Доказательство:

Высота $CH$ делит прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$. Все три треугольника подобны друг другу: $\triangle ABC \sim \triangle ACH \sim \triangle CBH$.

• $\triangle ACH \sim \triangle ABC$: $\angle A$ — общий, $\angle AHC = \angle ACB = 90^\circ$.

• $\triangle CBH \sim \triangle ABC$: $\angle B$ — общий, $\angle CHB = \angle ACB = 90^\circ$.

Из подобия $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ следует: $\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC} \implies \frac{b}{c} = \frac{c_b}{b} \implies b^2 = c \cdot c_b$.

Из подобия $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ следует: $\frac{BC}{AB} = \frac{BH}{BC} \implies \frac{a}{c} = \frac{c_a}{a} \implies a^2 = c \cdot c_a$.

Из подобия $\triangle ACH \sim \triangle CBH$ следует: $\frac{CH}{BH} = \frac{AH}{CH} \implies \frac{h}{c_a} = \frac{c_b}{h} \implies h^2 = c_a \cdot c_b$.

Теперь докажем теорему Пифагора, сложив два полученных равенства для катетов:

$a^2 + b^2 = c \cdot c_a + c \cdot c_b = c \cdot (c_a + c_b)$.

Так как $c_a + c_b = c$, то получаем $a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2$.

Соотношение $ab=ch$ можно получить из формулы площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ab$ и $S = \frac{1}{2}ch$. Приравнивая их, получаем $ab=ch$.

Ответ: Основные соотношения: $c^2=a^2+b^2$; $h^2=c_a \cdot c_b$; $a^2=c \cdot c_a$; $b^2=c \cdot c_b$; $ab=ch$.

5. Как определить вид угла в треугольнике (острый, прямой или тупой)?

Определить вид угла в треугольнике можно, зная длины его сторон, с помощью следствия из теоремы косинусов.

Теорема косинусов для треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, выглядит так:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Выразим из нее косинус угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Знаменатель дроби $2ab$ всегда положителен (так как $a$ и $b$ — длины сторон). Следовательно, знак $\cos(\gamma)$ зависит только от знака числителя $a^2 + b^2 - c^2$. Вид угла $\gamma$ (в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$) определяется знаком его косинуса.

Отсюда получаем правила для определения вида угла, противолежащего стороне $c$:

1. Прямой угол: Если угол $\gamma = 90^\circ$, то $\cos(\gamma) = 0$. Это возможно, только если $a^2 + b^2 - c^2 = 0$, то есть $c^2 = a^2 + b^2$. Это теорема Пифагора.

2. Острый угол: Если угол $\gamma$ — острый ($0^\circ < \gamma < 90^\circ$), то $\cos(\gamma) > 0$. Это возможно, только если $a^2 + b^2 - c^2 > 0$, то есть $c^2 < a^2 + b^2$.

3. Тупой угол: Если угол $\gamma$ — тупой ($90^\circ < \gamma < 180^\circ$), то $\cos(\gamma) < 0$. Это возможно, только если $a^2 + b^2 - c^2 < 0$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$.

Чтобы определить вид всего треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), достаточно проверить только самый большой угол, который лежит напротив самой длинной стороны. Пусть $c$ — самая длинная сторона треугольника. Тогда:

• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник прямоугольный.

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник остроугольный (так как самый большой угол острый, то и остальные два тем более острые).

• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный.

Ответ: Для определения вида угла, лежащего напротив стороны $c$, нужно сравнить квадрат этой стороны $c^2$ с суммой квадратов двух других сторон $a^2 + b^2$. Если $c^2 < a^2 + b^2$ — угол острый; если $c^2 = a^2 + b^2$ — угол прямой; если $c^2 > a^2 + b^2$ — угол тупой.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

1. Постройте произвольную окружность и проведите в ней две пересекающиеся хорды. Проверьте выполнение теоремы 1 с помощью измерительных работ.

2. Постройте произвольную окружность и проведите из точки, лежащей вне этой окружности, две секущие. Путем измерения проверьте выполнение теоремы 2.

1. Постройте произвольную окружность и проведите в ней две пересекающиеся хорды. Проверьте выполнение теоремы 1 с помощью измерительных работ.

Сначала построим произвольную окружность с помощью циркуля. Затем внутри окружности проведем две хорды, например, AB и CD, так, чтобы они пересекались в некоторой точке P.

Теперь проверим выполнение теоремы 1 (теорема о пересекающихся хордах). Теорема гласит: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Для нашего случая это означает, что должно выполняться равенство: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

Выполним измерения длин отрезков с помощью линейки. Допустим, мы получили следующие значения:

$AP = 5.6$ см
$PB = 3.5$ см
$CP = 2.8$ см
$PD = 7.0$ см

Теперь вычислим произведения:

$AP \cdot PB = 5.6 \cdot 3.5 = 19.6$

$CP \cdot PD = 2.8 \cdot 7.0 = 19.6$

Так как $19.6 = 19.6$, мы видим, что равенство $AP \cdot PB = CP \cdot PD$ выполняется. Небольшие расхождения при реальных измерениях могут быть вызваны погрешностью инструментов или неточностью построений.

Ответ: Измерения и последующие вычисления подтверждают справедливость теоремы о пересекающихся хордах: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

2. Постройте произвольную окружность и проведите из точки, лежащей вне этой окружности, две секущие. Путем измерения проверьте выполнение теоремы 2.

Построим произвольную окружность. Вне окружности выберем точку P. Из этой точки проведем две прямые, пересекающие окружность в двух точках каждая. Такие прямые называются секущими. Пусть первая секущая пересекает окружность в точках A и B, а вторая — в точках C и D.

Проверим выполнение теоремы 2 (теорема о двух секущих). Теорема гласит: если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть. Для нашего случая должно выполняться равенство: $PB \cdot PA = PD \cdot PC$. Здесь PA и PC — внешние части секущих, а PB и PD — длины секущих от точки P до дальней точки пересечения.

Выполним измерения с помощью линейки. Допустим, мы получили следующие значения:

$PA = 4.0$ см (внешняя часть первой секущей)
$PB = 9.0$ см (вся первая секущая)
$PC = 3.0$ см (внешняя часть второй секущей)
$PD = 12.0$ см (вся вторая секущая)

Теперь вычислим произведения:

$PA \cdot PB = 4.0 \cdot 9.0 = 36.0$

$PC \cdot PD = 3.0 \cdot 12.0 = 36.0$

Так как $36.0 = 36.0$, мы видим, что равенство $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ выполняется.

Ответ: Измерения и вычисления подтверждают справедливость теоремы о двух секущих: произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть.

4.61. Хорда окружности, перпендикулярная диаметру, делит его на части, равные 24 см и 6 см. Найдите длину этой хорды.

Пусть в окружности с центром в точке O проведен диаметр AB и перпендикулярная ему хорда CD, которые пересекаются в точке M. По условию задачи, хорда делит диаметр на два отрезка. Пусть длины этих отрезков $AM = 24$ см и $MB = 6$ см.

1. Нахождение диаметра и радиуса окружности
Длина диаметра AB складывается из длин отрезков AM и MB:
$AB = AM + MB = 24 \text{ см} + 6 \text{ см} = 30 \text{ см}$.
Радиус R окружности равен половине диаметра:
$R = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}$.
Таким образом, отрезки OA и OB, являющиеся радиусами, равны 15 см.

2. Нахождение расстояния от центра до хорды
Точка M находится на диаметре AB. Расстояние от центра O до точки M (OM) можно найти, зная длину радиуса OB и отрезка MB:
$OM = OB - MB = 15 \text{ см} - 6 \text{ см} = 9 \text{ см}$.
(Аналогично, если бы $AM = 6$ см, то $OM = OA - AM = 15 - 6 = 9$ см).

3. Применение теоремы Пифагора
Рассмотрим треугольник OCM. Он является прямоугольным, так как хорда CD перпендикулярна диаметру AB по условию ($\angle OMC = 90^\circ$). В этом треугольнике:
- $OC$ — гипотенуза, равная радиусу окружности ($OC = R = 15$ см).
- $OM$ — катет, равный 9 см.
- $CM$ — второй катет, который является половиной искомой хорды CD (так как диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам).
По теореме Пифагора ($OC^2 = OM^2 + CM^2$), найдем длину катета CM (обозначим ее за $x$):
$15^2 = 9^2 + x^2$
$225 = 81 + x^2$
$x^2 = 225 - 81 = 144$
$x = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.
Итак, половина хорды $CM = 12$ см.

4. Нахождение длины хорды
Полная длина хорды CD равна удвоенной длине ее половины CM:
$CD = 2 \cdot CM = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Ответ: 24 см.

4.62. Из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, разделенная окружностью пополам. Какова длина касательной, если часть секущей, ограниченная окружностью, равна 4 см?

Пусть из точки P, расположенной вне окружности, проведены касательная PT (где T — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках A и B (причем точка A лежит между P и B).

Изобразим данную конфигурацию на рисунке:

Согласно условию задачи:
1. Часть секущей, ограниченная окружностью, равна 4 см. Это хорда AB. Таким образом, $AB = 4$ см.
2. Секущая разделена окружностью пополам. Это означает, что внешняя часть секущей (отрезок PA) равна ее внутренней части (хорде AB). Таким образом, $PA = AB$.

Из этих двух условий следует, что длина внешней части секущей $PA = 4$ см.

Найдем длину всей секущей PB. Она равна сумме длин ее внешней и внутренней частей:
$PB = PA + AB = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Для нахождения длины касательной PT воспользуемся теоремой о касательной и секущей. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Математически это выражается формулой:
$PT^2 = PA \cdot PB$

Подставим известные значения в эту формулу:
$PT^2 = 4 \cdot 8$
$PT^2 = 32$

Теперь найдем длину PT, извлекая квадратный корень:
$PT = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

4.63. Радиус окружности 7 см, секущая, проведенная из точки, находящейся на расстоянии 9 см от центра, делится окружностью пополам. Найдите длину секущей.

Обозначим центр окружности как $O$, а точку, из которой проведена секущая, как $M$. Радиус окружности $R = 7$ см, а расстояние от точки $M$ до центра $O$ равно $OM = 9$ см.

Пусть секущая, проведенная из точки $M$, пересекает окружность в точках $A$ и $B$ (точка $A$ находится между $M$ и $B$). Тогда отрезок $MA$ — это внешняя часть секущей, а отрезок $AB$ — это хорда, высекаемая окружностью на секущей.

Согласно условию задачи, секущая делится окружностью пополам. Это означает, что длина внешней части секущей равна длине хорды, которую она высекает на окружности. Таким образом, $MA = AB$.

Введем обозначение: пусть длина отрезка $MA = x$. Тогда длина хорды $AB$ также равна $x$.

Длина всей секущей, то есть отрезка от точки $M$ до дальней точки пересечения $B$, будет равна $MB = MA + AB = x + x = 2x$. Нам нужно найти длину $MB$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности (или теоремой о секущей). Согласно этой теореме, произведение длины внешней части секущей на длину всей секущей равно квадрату расстояния от точки до центра окружности минус квадрат радиуса:

$MA \cdot MB = OM^2 - R^2$

Подставим в эту формулу известные и введенные нами значения:

$x \cdot (2x) = 9^2 - 7^2$

Теперь решим полученное уравнение:

$2x^2 = 81 - 49$

$2x^2 = 32$

$x^2 = 16$

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, берем положительный корень:

$x = \sqrt{16} = 4$ см.

Мы нашли длину внешней части секущей $MA = 4$ см. Длина всей секущей $MB$ равна $2x$.

$MB = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Ответ: 8 см.