Страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.73. Из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, разделенная окружностью пополам. Какая часть секущей ограничена окружностью, если длина касательной равна 4 см?

Пусть из точки $P$, лежащей вне окружности, проведены касательная $PT$ (где $T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $P$ и $B$). Для наглядности представим следующую схему:

По условию задачи, длина отрезка касательной равна $PT = 4$ см.

Также дано, что секущая разделена окружностью пополам. Это означает, что ее внешняя часть, отрезок $PA$, равна по длине ее внутренней части, хорде $AB$.

Обозначим длину этих равных частей через $x$. Таким образом, мы имеем:

$PA = x$

$AB = x$

Длина всего отрезка секущей от точки $P$ до дальней точки пересечения $B$ будет суммой длин отрезков $PA$ и $AB$:

$PB = PA + AB = x + x = 2x$

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей, которая гласит, что квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длины отрезка секущей от этой точки до ближней точки пересечения на длину отрезка секущей до дальней точки пересечения.

Математически это выражается формулой:

$PT^2 = PA \cdot PB$

Подставим в эту формулу известные и введенные нами значения:

$4^2 = x \cdot (2x)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$16 = 2x^2$

$x^2 = \frac{16}{2}$

$x^2 = 8$

$x = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти длину части секущей, которая ограничена окружностью. Эта часть является хордой $AB$. Поскольку мы обозначили длину хорды $AB$ как $x$, то искомая длина равна найденному значению $x$.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

4.74. Мост построен в виде дуги окружности (рис. 4.26). Найдите:

1) длину AB, если $CK=h=3$ м, $CO=R=8,5$ м;

2) радиус дуги фермы, если $AB=6$ м, $h=1,2$ м.

Рис. 4.26

На рисунке мост изображен в виде дуги окружности $ACB$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Отрезок $AB$ — это хорда данной окружности. Высота дуги $CK$ обозначена как $h$. Точка $K$ является серединой хорды $AB$, а радиус $OC$ перпендикулярен хорде $AB$. Следовательно, треугольник $OKA$ является прямоугольным, где гипотенуза $OA$ равна радиусу $R$.

1) Для нахождения длины $AB$ при известных $CK=h=3$ м и $CO=R=8,5$ м, рассмотрим прямоугольный треугольник $OKA$. Гипотенуза $OA$ является радиусом окружности, поэтому $OA = R = 8,5$ м. Катет $OK$ можно найти как разность радиуса $OC$ и высоты дуги $CK$: $OK = OC - CK = R - h = 8,5 - 3 = 5,5$ м. По теореме Пифагора $OA^2 = OK^2 + AK^2$, откуда можем найти длину катета $AK$: $AK^2 = OA^2 - OK^2 = 8,5^2 - 5,5^2$. Используя формулу разности квадратов, получаем: $AK^2 = (8,5 - 5,5)(8,5 + 5,5) = 3 \cdot 14 = 42$, следовательно $AK = \sqrt{42}$ м. Так как радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, то $K$ — середина $AB$. Значит, длина хорды $AB$ вдвое больше длины $AK$: $AB = 2 \cdot AK = 2\sqrt{42}$ м.

Ответ: $AB = 2\sqrt{42}$ м.

2) Для нахождения радиуса дуги при известных $AB=6$ м и $h=1,2$ м, снова рассмотрим прямоугольный треугольник $OKA$. Поскольку $K$ — середина хорды $AB$, длина отрезка $AK$ равна половине длины $AB$: $AK = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$ м. Обозначим искомый радиус как $R$. Тогда гипотенуза $OA = R$. Катет $OK$ можно выразить через радиус $R$ и высоту $h$: $OK = OC - CK = R - h = R - 1,2$ м. Применив теорему Пифагора $OA^2 = OK^2 + AK^2$ и подставив все значения, получим уравнение: $R^2 = (R - 1,2)^2 + 3^2$. Раскроем скобки и решим его относительно $R$: $R^2 = R^2 - 2 \cdot R \cdot 1,2 + 1,2^2 + 9$, что упрощается до $R^2 = R^2 - 2,4R + 1,44 + 9$. Отсюда $0 = -2,4R + 10,44$, или $2,4R = 10,44$. Находим радиус: $R = \frac{10,44}{2,4} = 4,35$ м.

Ответ: $R = 4,35$ м.

4.75. Длина касательной, проведенной из некоторой точки к окружности, равна 20 см, а длина наибольшей секущей, проведенной из этой точки, равна 50 см. Найдите радиус окружности.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек ее пересечения с окружностью.

Обозначим:

• `P` — точка, из которой проведены касательная и секущая.
• `T` — точка касания. Длина касательной `PT = 20` см.
• `A` и `B` — точки пересечения секущей с окружностью, причем `A` — ближняя к `P` точка, а `B` — дальняя.

Наибольшая секущая, проведенная из точки `P`, проходит через центр окружности `O`. Длина этой секущей — это расстояние от точки `P` до дальней точки пересечения `B`, то есть `PB = 50` см.

В соответствии с теоремой о касательной и секущей:

$PT^2 = PA \cdot PB$

где `PA` — это длина внешней части секущей (расстояние от `P` до ближней точки пересечения `A`).

Изобразим данную конфигурацию на рисунке:

Подставим известные значения в формулу:

$20^2 = PA \cdot 50$

$400 = PA \cdot 50$

Отсюда найдем длину отрезка `PA`:

$PA = \frac{400}{50} = 8$ см.

Так как секущая `PB` является наибольшей, она проходит через центр окружности `O`. Это означает, что отрезок `AB`, соединяющий точки пересечения секущей с окружностью, является ее диаметром. Диаметр равен двум радиусам (`2r`).

Длина всей секущей `PB` складывается из длины ее внешней части `PA` и диаметра `AB`:

$PB = PA + AB$

$PB = PA + 2r$

Подставим известные значения `PB = 50` см и `PA = 8` см:

$50 = 8 + 2r$

Теперь решим это уравнение относительно радиуса `r`:

$2r = 50 - 8$

$2r = 42$

$r = \frac{42}{2} = 21$ см.

Таким образом, радиус окружности равен 21 см.

Ответ: 21 см.

4.76. Докажите, что касательные, проведенные из продолжения общей хорды двух пересекающихся окружностей к этим окружностям, равны.

Пусть даны две пересекающиеся окружности, которые мы обозначим как $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $. Пусть точки их пересечения — это точки A и B. Тогда отрезок AB является их общей хордой.

Возьмем произвольную точку M на продолжении хорды AB (то есть на прямой AB, но вне отрезка AB). Из этой точки проведем касательные к обеим окружностям. Пусть $ MT_1 $ — касательная к окружности $ \omega_1 $ (где $ T_1 $ — точка касания), а $ MT_2 $ — касательная к окружности $ \omega_2 $ (где $ T_2 $ — точка касания).

Необходимо доказать, что длины этих касательных равны, то есть $ MT_1 = MT_2 $.

Для доказательства воспользуемся свойством степени точки относительно окружности, которое также известно как теорема о касательной и секущей.

Геометрическая конфигурация задачи показана на рисунке:

Доказательство:

1. Рассмотрим окружность $ \omega_1 $ и точку M. Прямая, проходящая через точки M, A и B, является секущей для окружности $ \omega_1 $, так как пересекает её в точках A и B. Отрезок $ MT_1 $ является касательной к этой окружности.

Согласно теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки, от этой точки до точек пересечения с окружностью. Таким образом, для окружности $ \omega_1 $ имеем: $ MT_1^2 = MA \cdot MB $

2. Теперь рассмотрим окружность $ \omega_2 $ и ту же точку M. Прямая MA является секущей и для окружности $ \omega_2 $, так как тоже пересекает её в точках A и B. Отрезок $ MT_2 $ является касательной к этой окружности.

Применяя ту же теорему для окружности $ \omega_2 $, получаем: $ MT_2^2 = MA \cdot MB $

3. Сравнивая полученные выражения для $ MT_1^2 $ и $ MT_2^2 $, мы видим, что они оба равны одному и тому же произведению $ MA \cdot MB $: $ MT_1^2 = MT_2^2 $

4. Поскольку длины отрезков $ MT_1 $ и $ MT_2 $ являются положительными величинами, из равенства их квадратов следует равенство самих длин: $ MT_1 = MT_2 $

Таким образом, мы доказали, что касательные, проведенные из точки на продолжении общей хорды к двум пересекающимся окружностям, равны.

Ответ: Равенство длин касательных доказано.

4.77. Секущая в $2\frac{1}{4}$ раза длиннее своего внешнего отрезка. Во сколько раз она длиннее касательной, проведенной из той же точки?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек ее пересечения с окружностью.

Изобразим данную ситуацию на рисунке:

Пусть из точки $P$ к окружности проведены секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $P$ и $B$), и касательная, касающаяся окружности в точке $C$.

Тогда:

• $PB$ — это вся секущая.
• $PA$ — это внешний отрезок секущей.
• $PC$ — это касательная.

По условию задачи, секущая в $2\frac{1}{4}$ раза длиннее своего внешнего отрезка. Запишем это в виде формулы:

$PB = 2\frac{1}{4} \cdot PA$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

Таким образом, $PB = \frac{9}{4} PA$.

Согласно теореме о касательной и секущей:

$PC^2 = PB \cdot PA$

Подставим в эту формулу выражение для $PB$ из условия задачи:

$PC^2 = \left(\frac{9}{4} PA\right) \cdot PA = \frac{9}{4} PA^2$

Теперь найдем длину касательной $PC$, извлекая квадратный корень:

$PC = \sqrt{\frac{9}{4} PA^2} = \frac{3}{2} PA$

Нам нужно найти, во сколько раз секущая ($PB$) длиннее касательной ($PC$). Для этого найдем отношение их длин $\frac{PB}{PC}$:

$\frac{PB}{PC} = \frac{\frac{9}{4} PA}{\frac{3}{2} PA}$

Сократим $PA$ в числителе и знаменателе:

$\frac{PB}{PC} = \frac{9/4}{3/2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, секущая в 1,5 раза длиннее касательной.

Ответ: в 1,5 раза.

4.78. Из одной точки проведены касательная и секущая. Касательная длиннее внешнего отрезка секущей на 5 см и короче внутреннего отрезка на столько же. Найдите касательную.

Для решения задачи введем переменные и используем теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности.

Пусть $T$ — длина касательной (отрезок AT), $E$ — длина внешнего отрезка секущей (отрезок AB), а $I$ — длина внутреннего отрезка секущей (хорда BC).

Из условий задачи составим систему уравнений:
1. Касательная длиннее внешнего отрезка секущей на 5 см: $T = E + 5$.
2. Касательная короче внутреннего отрезка на столько же (на 5 см): $T = I - 5$.

Выразим $E$ и $I$ через $T$ из этих уравнений:
$E = T - 5$
$I = T + 5$

Согласно теореме о касательной и секущей, квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть:
$AT^2 = AC \cdot AB$

Длина всей секущей AC равна сумме ее внешнего и внутреннего отрезков: $AC = AB + BC = E + I$.
Подставим наши обозначения в формулу теоремы:
$T^2 = (E + I) \cdot E$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $E$ и $I$, которые мы получили ранее:
$T^2 = ((T - 5) + (T + 5)) \cdot (T - 5)$

Упростим и решим полученное уравнение относительно $T$:
$T^2 = (2T) \cdot (T - 5)$
$T^2 = 2T^2 - 10T$
$2T^2 - T^2 - 10T = 0$
$T^2 - 10T = 0$
$T(T - 10) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $T = 0$ и $T = 10$. Поскольку длина отрезка не может быть нулевой, физический смысл имеет только решение $T = 10$.

Таким образом, длина касательной составляет 10 см.

Ответ: 10 см.

4.79. Через середину хорды длиной $a$ проведена хорда длиной $b$. На какие отрезки делится хорда длиной $b$?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности.

На какие отрезки делится хорда длиной b?

Пусть в окружности проведены две хорды: $AB$ длиной $a$ и $CD$ длиной $b$. Пусть точка $M$ — середина хорды $AB$. По условию, хорда $CD$ проходит через точку $M$, то есть хорды пересекаются в этой точке.

Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды: $AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Поскольку точка $M$ является серединой хорды $AB$ длиной $a$, она делит эту хорду на два равных отрезка: $AM = MB = \frac{a}{2}$

Тогда произведение этих отрезков равно: $AM \cdot MB = \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$

Пусть хорда $CD$ длиной $b$ делится точкой $M$ на отрезки $CM$ и $MD$. Обозначим их длины как $x$ и $y$ соответственно. Таким образом, $CM = x$ и $MD = y$. Сумма длин этих отрезков равна длине всей хорды $CD$: $x + y = b$

Из теоремы о пересекающихся хордах мы знаем, что произведение длин этих отрезков равно: $x \cdot y = AM \cdot MB = \frac{a^2}{4}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$: 1. $x + y = b$ 2. $xy = \frac{a^2}{4}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $t^2 - (x+y)t + xy = 0$

Подставим в него известные нам значения: $t^2 - bt + \frac{a^2}{4} = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью формулы для корней: $t = \frac{-(-b) \pm \sqrt{(-b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{a^2}{4}}}{2 \cdot 1} = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$

Корни этого уравнения и есть длины искомых отрезков $x$ и $y$. Для того чтобы решение существовало в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $b^2 - a^2 \ge 0$, то есть $b \ge a$.

Таким образом, хорда длиной $b$ делится на два отрезка, длины которых равны: $\frac{b + \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$ и $\frac{b - \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$

Ответ: $\frac{b + \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$ и $\frac{b - \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$.

4.80. Окружность пересекает сторону угла на расстоянии $a$ и $b$ от его вершины, а другой стороны касается. Найдите расстояние от вершины угла до точки касания.

Пусть вершина угла будет точка $O$. Одна из сторон угла пересекает окружность в точках $A$ и $B$. Расстояния от вершины угла до этих точек равны $OA = a$ и $OB = b$. Для определенности, будем считать, что $a < b$, то есть точка $A$ лежит между $O$ и $B$. Другая сторона угла касается окружности в точке $C$. Требуется найти расстояние $OC$.

Для наглядности представим геометрическую ситуацию на рисунке:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит: квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от той же точки до точек её пересечения с окружностью.

В нашем случае:

• Точка, из которой проведены касательная и секущая — это вершина угла $O$.
• Отрезок касательной — это $OC$. Его длину, которую нужно найти, обозначим за $x$.
• Секущая — это прямая, содержащая сторону угла $OA$ и $OB$.
• Отрезки секущей от точки $O$ до точек пересечения с окружностью — это $OA$ и $OB$. Их длины равны $a$ и $b$.

Согласно теореме о касательной и секущей, мы можем записать следующее равенство:

$OC^2 = OA \cdot OB$

Подставим известные значения в формулу:

$x^2 = a \cdot b$

Чтобы найти длину $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку длина отрезка является положительной величиной, мы берем только арифметический корень:

$x = \sqrt{ab}$

Таким образом, расстояние от вершины угла до точки касания равно среднему геометрическому расстояний от вершины до точек пересечения другой стороны угла с окружностью.

Ответ: $\sqrt{ab}$

4.81. В окружности радиусом $R$ проведена хорда. Расстояние от центра окружности до хорды равно $d$. Найдите длину хорды.

Для решения задачи воспользуемся геометрическими свойствами окружности и теоремой Пифагора.

Пусть в окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R$ проведена хорда $AB$. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на хорду $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $H$. Таким образом, $OH \perp AB$ и по условию $OH = d$.

Рассмотрим следующую иллюстрацию:

Соединим центр окружности $O$ с одним из концов хорды, например, с точкой $A$. Отрезок $OA$ является радиусом окружности, поэтому его длина $OA = R$.

Мы получили прямоугольный треугольник $\triangle OHA$ (с прямым углом при вершине $H$). В этом треугольнике:
- Гипотенуза $OA = R$
- Катет $OH = d$
- Катет $AH$

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $OA^2 = OH^2 + AH^2$.

Подставим известные значения в формулу: $R^2 = d^2 + AH^2$.

Выразим из этого уравнения $AH$:
$AH^2 = R^2 - d^2$
$AH = \sqrt{R^2 - d^2}$

Важным свойством является то, что перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $H$ является серединой хорды $AB$, и $AB = 2 \cdot AH$.

Теперь мы можем найти длину всей хорды $AB$:
$AB = 2 \sqrt{R^2 - d^2}$

Ответ: Длина хорды равна $2\sqrt{R^2 - d^2}$.