Номер 4.75, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.75. Длина касательной, проведенной из некоторой точки к окружности, равна 20 см, а длина наибольшей секущей, проведенной из этой точки, равна 50 см. Найдите радиус окружности.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек ее пересечения с окружностью.

Обозначим:

• `P` — точка, из которой проведены касательная и секущая.
• `T` — точка касания. Длина касательной `PT = 20` см.
• `A` и `B` — точки пересечения секущей с окружностью, причем `A` — ближняя к `P` точка, а `B` — дальняя.

Наибольшая секущая, проведенная из точки `P`, проходит через центр окружности `O`. Длина этой секущей — это расстояние от точки `P` до дальней точки пересечения `B`, то есть `PB = 50` см.

В соответствии с теоремой о касательной и секущей:

$PT^2 = PA \cdot PB$

где `PA` — это длина внешней части секущей (расстояние от `P` до ближней точки пересечения `A`).

Изобразим данную конфигурацию на рисунке:

Подставим известные значения в формулу:

$20^2 = PA \cdot 50$

$400 = PA \cdot 50$

Отсюда найдем длину отрезка `PA`:

$PA = \frac{400}{50} = 8$ см.

Так как секущая `PB` является наибольшей, она проходит через центр окружности `O`. Это означает, что отрезок `AB`, соединяющий точки пересечения секущей с окружностью, является ее диаметром. Диаметр равен двум радиусам (`2r`).

Длина всей секущей `PB` складывается из длины ее внешней части `PA` и диаметра `AB`:

$PB = PA + AB$

$PB = PA + 2r$

Подставим известные значения `PB = 50` см и `PA = 8` см:

$50 = 8 + 2r$

Теперь решим это уравнение относительно радиуса `r`:

$2r = 50 - 8$

$2r = 42$

$r = \frac{42}{2} = 21$ см.

Таким образом, радиус окружности равен 21 см.

Ответ: 21 см.