Номер 4.75, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.75. Длина касательной, проведенной из некоторой точки к окружности, равна 20 см, а длина наибольшей секущей, проведенной из этой точки, равна 50 см. Найдите радиус окружности.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек ее пересечения с окружностью.

Обозначим:

• $P$ — точка, из которой проведены касательная и секущая.
• $T$ — точка касания. Длина касательной $PT = 20$ см.
• $A$ и $B$ — точки пересечения секущей с окружностью, причем $A$ — ближняя к $P$ точка, а $B$ — дальняя.

Наибольшая секущая, проведенная из точки $P$, проходит через центр окружности $O$. Длина этой секущей — это расстояние от точки $P$ до дальней точки пересечения $B$, то есть $PB = 50$ см.

В соответствии с теоремой о касательной и секущей:

$PT^2 = PA \cdot PB$

где $PA$ — это длина внешней части секущей (расстояние от $P$ до ближней точки пересечения $A$).

Изобразим данную конфигурацию на рисунке:

Подставим известные значения в формулу:

$20^2 = PA \cdot 50$

$400 = PA \cdot 50$

Отсюда найдем длину отрезка $PA$:

$PA = \frac{400}{50} = 8$ см.

Так как секущая $PB$ является наибольшей, она проходит через центр окружности $O$. Это означает, что отрезок $AB$, соединяющий точки пересечения секущей с окружностью, является ее диаметром. Диаметр равен двум радиусам ($2r$).

Длина всей секущей $PB$ складывается из длины ее внешней части $PA$ и диаметра $AB$:

$PB = PA + AB$

$PB = PA + 2r$

Подставим известные значения $PB = 50$ см и $PA = 8$ см:

$50 = 8 + 2r$

Теперь решим это уравнение относительно радиуса $r$:

$2r = 50 - 8$

$2r = 42$

$r = \frac{42}{2} = 21$ см.

Таким образом, радиус окружности равен 21 см.

Ответ: 21 см.