Номер 4.82, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.82. Отношение катетов в прямоугольном треугольнике равно $3:4$, а гипотенуза равна 50 см. На какие отрезки делит гипотенузу высота, опущенная из прямого угла?

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Согласно условию задачи, отношение катетов $a:b = 3:4$, а гипотенуза $c = 50$ см.

1. Сначала найдем длины катетов. Так как их отношение равно $3:4$, можно представить их как $a = 3x$ и $b = 4x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим значения в формулу:

$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$

$9x^2 + 16x^2 = 2500$

$25x^2 = 2500$

$x^2 = \frac{2500}{25}$

$x^2 = 100$

$x = 10$ (так как длина стороны должна быть положительной).

Теперь можем вычислить длины катетов:

$a = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ см

$b = 4x = 4 \cdot 10 = 40$ см

2. Теперь найдем длины отрезков, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит гипотенузу. Пусть высота делит гипотенузу $c$ на отрезки $c_a$ и $c_b$, которые являются проекциями катетов $a$ и $b$ на гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике существуют метрические соотношения, согласно которым квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. То есть:

$a^2 = c \cdot c_a$

$b^2 = c \cdot c_b$

Вычислим длину первого отрезка $c_a$, который является проекцией катета $a$:

$30^2 = 50 \cdot c_a$

$900 = 50 \cdot c_a$

$c_a = \frac{900}{50} = 18$ см

Вычислим длину второго отрезка $c_b$, который является проекцией катета $b$:

$40^2 = 50 \cdot c_b$

$1600 = 50 \cdot c_b$

$c_b = \frac{1600}{50} = 32$ см

Для проверки можно сложить длины полученных отрезков: $18 + 32 = 50$ см, что равно длине гипотенузы.

Ответ: высота делит гипотенузу на отрезки 18 см и 32 см.