Номер 4.83, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.83. Высота, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, меньший из которых равен 11 см. Найдите гипотенузу, если отношение катетов треугольника равно $6:5$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Из вершины $C$ на гипотенузу $AB$ проведена высота $CD$, длина которой $h$. Высота делит гипотенузу на два отрезка $AD$ и $DB$, которые являются проекциями катетов $b$ и $a$ на гипотенузу соответственно. Обозначим эти проекции как $c_b = AD$ и $c_a = DB$.

По условию задачи отношение катетов равно $6:5$. Пусть $a$ и $b$ — катеты, тогда $a/b = 6/5$. Также известно, что меньший из отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равен $11$ см.

Для решения задачи воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:

$a^2 = c \cdot c_a$

$b^2 = c \cdot c_b$

Разделив первое уравнение на второе, получим отношение проекций:

$\frac{a^2}{b^2} = \frac{c \cdot c_a}{c \cdot c_b} = \frac{c_a}{c_b}$

Поскольку нам дано отношение катетов $a/b = 6/5$, мы можем найти отношение их квадратов:

$\frac{a^2}{b^2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}$

Следовательно, отношение проекций катетов на гипотенузу также равно $36/25$:

$\frac{c_a}{c_b} = \frac{36}{25}$

Из этого соотношения видно, что проекция $c_a$ больше проекции $c_b$. Это логично, так как большему катету ($a$) соответствует большая проекция ($c_a$). По условию, меньший из отрезков (проекций) равен $11$ см. Значит, $c_b = 11$ см.

Теперь найдем длину большей проекции $c_a$:

$c_a = c_b \cdot \frac{36}{25} = 11 \cdot \frac{36}{25} = \frac{396}{25}$ см.

Гипотенуза $c$ равна сумме длин её отрезков (проекций катетов):

$c = c_a + c_b = \frac{396}{25} + 11$

Приведем к общему знаменателю:

$c = \frac{396}{25} + \frac{11 \cdot 25}{25} = \frac{396}{25} + \frac{275}{25} = \frac{396 + 275}{25} = \frac{671}{25}$ см.

Переведем в десятичную дробь для удобства:

$c = \frac{671}{25} = 26.84$ см.

Ответ: $26.84$ см.