Номер 4.90, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.90. Из одной точки к окружности проведены секущая и касательная. Сумма их длин равна 30 см, а внешний отрезок секущей короче касательной на 2 см. Найдите касательную и секущую.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

$t$ — длина касательной в см.
$s$ — длина секущей в см.
$e$ — длина внешнего отрезка секущей в см.

Визуализируем условие задачи:

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Сумма длин касательной и секущей равна 30 см: $t + s = 30$.

2. Внешний отрезок секущей короче касательной на 2 см: $e = t - 2$.

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Согласно этой теореме, квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть:

$t^2 = s \cdot e$

Получаем систему из трех уравнений:

$\begin{cases} t + s = 30 \\ e = t - 2 \\ t^2 = s \cdot e\end{cases}$

Для решения системы выразим $s$ из первого уравнения: $s = 30 - t$.

Теперь подставим выражения для $s$ и $e$ в третье уравнение:

$t^2 = (30 - t)(t - 2)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 = 30t - 60 - t^2 + 2t$

$t^2 = 32t - 60 - t^2$

$2t^2 - 32t + 60 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$t^2 - 16t + 30 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 256 - 120 = 136$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$

$t = \frac{16 \pm 2\sqrt{34}}{2} = 8 \pm \sqrt{34}$

Таким образом, мы получили два возможных значения для длины касательной:

$t_1 = 8 + \sqrt{34}$ и $t_2 = 8 - \sqrt{34}$.

Оба значения положительны и больше 2 (так как $\sqrt{34} \approx 5.83$), поэтому длина внешнего отрезка секущей $e = t - 2$ также будет положительной в обоих случаях. Следовательно, задача имеет два решения.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1. Длина касательной $t_1 = 8 + \sqrt{34}$ см.
Тогда длина секущей $s_1 = 30 - t_1 = 30 - (8 + \sqrt{34}) = 22 - \sqrt{34}$ см.

Случай 2. Длина касательной $t_2 = 8 - \sqrt{34}$ см.
Тогда длина секущей $s_2 = 30 - t_2 = 30 - (8 - \sqrt{34}) = 22 + \sqrt{34}$ см.

Обе пары чисел удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: Длина касательной $(8 + \sqrt{34})$ см и длина секущей $(22 - \sqrt{34})$ см, либо длина касательной $(8 - \sqrt{34})$ см и длина секущей $(22 + \sqrt{34})$ см.