Номер 4.94, страница 149 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.94. Отрезок $AB$ виден из точек $C$ и $D$ под разными углами. В каком случае точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности?

Для того чтобы четыре точки лежали на одной окружности, они должны удовлетворять определенным геометрическим условиям, связанным с углами. Рассмотрим два возможных случая расположения точек C и D относительно прямой, проходящей через отрезок AB.

1. Точки C и D лежат по одну сторону от прямой AB.

Согласно свойству вписанных углов, все углы, опирающиеся на одну и ту же хорду (в данном случае AB) и вершины которых лежат на одной дуге окружности, равны. Если бы точки A, B, C и D лежали на одной окружности, и точки C и D находились бы по одну сторону от прямой AB, то они лежали бы на одной дуге. В этом случае углы, под которыми отрезок AB виден из точек C и D, были бы равны: $\angle ACB = \angle ADB$.

Однако по условию задачи углы различны ($\angle ACB \neq \angle ADB$). Следовательно, точки C и D не могут лежать по одну сторону от прямой AB, если все четыре точки принадлежат одной окружности.

2. Точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB.

В этом случае точки A, C, B, D образуют вписанный в окружность четырехугольник ACBD. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Углы $\angle ACB$ и $\angle ADB$ в четырехугольнике ACBD являются противоположными.

Следовательно, для того чтобы точки A, B, C, D лежали на одной окружности, необходимо выполнение условия: $\angle ACB + \angle ADB = 180^\circ$. Это условие не противоречит тому, что углы разные (за исключением частного случая, когда оба угла равны $90^\circ$, который исключается условием задачи).

Таким образом, точки A, B, C и D лежат на одной окружности только в том случае, когда C и D расположены по разные стороны от прямой AB и сумма углов, под которыми из них виден отрезок AB, составляет $180^\circ$.

Ответ: Точки A, B, C и D лежат на одной окружности в том случае, если точки C и D расположены по разные стороны от прямой AB, а сумма углов $\angle ACB$ и $\angle ADB$ равна $180^\circ$.