Вопросы, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое ломаная? Как определяется ее длина?

2. Что такое многоугольник? Какие его элементы вы знаете? Что такое выпуклый многоугольник?

3. Какая окружность называется описанной около многоугольника, а какая – вписанной в многоугольник?

4. Что такое правильный многоугольник? Как определяется его центр?

5. Какова связь между стороной правильного $n$-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей?

6. Докажите, что любые два правильных $n$-угольника подобны.

7. На рис. 4.34 центр окружности был найден как пересечение диагоналей квадрата. Как определить в общем случае центр описанной окружности? Обоснуйте ответ.

8. С помощью рис. 4.29 и 4.30 сформулируйте алгоритм построения равностороннего треугольника и квадрата.

1. Что такое ломаная? Как определяется ее длина?

Ломаная — это геометрическая фигура, которая состоит из последовательно соединенных отрезков. Конец одного отрезка служит началом следующего. Эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки, в которых они соединяются, — вершинами ломаной.

Длина ломаной определяется как сумма длин всех ее звеньев. Если ломаная $A_1A_2...A_n$ состоит из звеньев $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{n-1}A_n$, то ее длина $L$ вычисляется по формуле: $L = |A_1A_2| + |A_2A_3| + ... + |A_{n-1}A_n|$.

Ответ: Ломаная — это фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных друг с другом. Ее длина равна сумме длин всех составляющих ее отрезков (звеньев).

2. Что такое многоугольник? Какие его элементы вы знаете? Что такое выпуклый многоугольник?

Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. Слово «простая» означает, что звенья ломаной не пересекают друг друга, кроме как в вершинах, а «замкнутая» — что конец последнего звена совпадает с началом первого.

Основные элементы многоугольника:

• Вершины — точки соединения сторон (вершины ломаной).
• Стороны — отрезки, образующие многоугольник (звенья ломаной).
• Углы — внутренние углы, образованные смежными сторонами в каждой вершине.
• Диагонали — отрезки, соединяющие две несоседние вершины.
• Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника.

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который обладает свойством лежать целиком по одну сторону от любой прямой, содержащей любую из его сторон. Альтернативно, многоугольник выпуклый, если любой отрезок, соединяющий две точки внутри многоугольника, полностью находится внутри него. Все внутренние углы выпуклого многоугольника меньше $180^\circ$.

Ответ: Многоугольник — это плоская фигура, ограниченная простой замкнутой ломаной. Его элементы: вершины, стороны, углы, диагонали. Выпуклый многоугольник — это многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через его сторону.

3. Какая окружность называется описанной около многоугольника, а какая - вписанной в многоугольник?

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Такой многоугольник называется вписанным в окружность. Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Такой многоугольник называется описанным около окружности. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов.

Ответ: Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. Вписанная окружность касается всех его сторон.

4. Что такое правильный многоугольник? Как определяется его центр?

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все внутренние углы равны между собой. Примерами могут служить равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.

У любого правильного многоугольника существуют и вписанная, и описанная окружности, причем их центры совпадают. Эта общая точка называется центром правильного многоугольника. Центр равноудален от всех вершин и от всех сторон многоугольника. Найти его можно как точку пересечения биссектрис углов или как точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Ответ: Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Его центр — это общий центр его вписанной и описанной окружностей.

5. Какова связь между стороной правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей?

Пусть $a_n$ — длина стороны правильного n-угольника, $R$ — радиус описанной окружности (соединяет центр с вершиной), и $r$ — радиус вписанной окружности (перпендикуляр из центра к стороне).

Связь между этими величинами выражается следующими формулами:

• Сторона через радиус описанной окружности: $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
• Сторона через радиус вписанной окружности: $a_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
• Радиус описанной окружности через сторону: $R = \frac{a_n}{2 \sin(180^\circ/n)}$
• Радиус вписанной окружности через сторону: $r = \frac{a_n}{2 \tan(180^\circ/n)}$
• Связь между радиусами: $r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Ответ: Связь выражается формулами $a_n = 2R \sin(180^\circ/n)$ и $a_n = 2r \tan(180^\circ/n)$, где $a_n$ — сторона, $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей, $n$ — число сторон.

6. Докажите, что любые два правильных n-угольника подобны.

Для доказательства подобия двух многоугольников необходимо показать, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Рассмотрим два правильных n-угольника, $P_1$ и $P_2$.

1. Равенство углов. Величина каждого внутреннего угла правильного n-угольника постоянна и равна $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Так как у обоих многоугольников число сторон одинаково ($n$), то все их внутренние углы равны этой величине. Следовательно, все соответственные углы $P_1$ и $P_2$ равны.

2. Пропорциональность сторон. Пусть сторона многоугольника $P_1$ равна $a_1$, а сторона многоугольника $P_2$ равна $a_2$. Так как многоугольники правильные, все стороны $P_1$ равны $a_1$, а все стороны $P_2$ равны $a_2$. Отношение длин любой пары соответственных сторон будет постоянным и равным $\frac{a_1}{a_2}$.

Поскольку оба условия подобия выполняются, любые два правильных n-угольника подобны.

Ответ: Доказано. Два правильных n-угольника подобны, так как у них равны все соответствующие углы и пропорциональны все соответствующие стороны.

7. На рис. 4.34 центр окружности был найден как пересечение диагоналей квадрата. Как определить в общем случае центр описанной окружности? Обоснуйте ответ.

В общем случае для многоугольника, около которого можно описать окружность, ее центр определяется как точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника.

Обоснование: По определению, описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. Это означает, что ее центр ($O$) должен быть равноудален от всех вершин ($A_1, A_2, ..., A_n$), то есть $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$.

Множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек (например, от вершин $A_1$ и $A_2$), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки ($A_1A_2$).

Следовательно, центр $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре к стороне $A_1A_2$, к стороне $A_2A_3$ и так далее для всех сторон. Таким образом, центр описанной окружности — это единственная точка, принадлежащая всем серединным перпендикулярам, то есть их точка пересечения. Если эти перпендикуляры не пересекаются в одной точке, то описать окружность около такого многоугольника нельзя.

Ответ: Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, так как эта точка равноудалена от всех его вершин.

8. С помощью рис. 4.29 и 4.30 сформулируйте алгоритм построения равностороннего треугольника и квадрата.

(Так как рисунки не предоставлены, приводятся стандартные алгоритмы построения циркулем и линейкой).

Алгоритм построения равностороннего треугольника:

1. Начертите отрезок $AB$, который будет служить первой стороной треугольника.
2. Установите раствор циркуля равным длине $AB$.
3. Из точки $A$ как из центра проведите дугу окружности.
4. Из точки $B$ как из центра проведите вторую дугу тем же радиусом до пересечения с первой. Обозначьте точку пересечения буквой $C$.
5. Соедините отрезками точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — равносторонний.

Алгоритм построения квадрата:

1. Начертите отрезок $AB$ — первую сторону квадрата.
2. В точке $A$ постройте прямую, перпендикулярную $AB$.
3. Раствором циркуля, равным длине $AB$, отложите на этой перпендикулярной прямой отрезок $AD$.
4. Из точек $B$ и $D$ проведите две дуги радиусом, равным $AB$, до их пересечения. Обозначьте точку пересечения $C$.
5. Соедините отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$. Четырехугольник $ABCD$ — квадрат.

Ответ: Равносторонний треугольник строится циркулем из двух точек на концах отрезка-основания. Квадрат строится последовательным построением перпендикуляров и откладыванием на них отрезков равной длины.