Практическая работа, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Постройте правильный: 1) треугольник; 2) четырехугольник; 3) шестиугольник. Постройте описанную около них и вписанную в них окружности. Выразите стороны многоугольников через радиусы описанной около них и вписанной в них окружностей.

1) правильный треугольник

Для построения правильного (равностороннего) треугольника используется циркуль и линейка. Сначала строится окружность, которая будет являться описанной около треугольника. Затем, установив раствор циркуля равным радиусу этой окружности, на ней последовательно откладываются шесть дуг, делящих окружность на шесть равных частей. Соединив точки через одну, получим вершины правильного треугольника.

Центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности. Радиус вписанной окружности — это перпендикуляр, опущенный из центра на любую из сторон треугольника.

Выразим сторону правильного треугольника $a$ через радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом описанной окружности $R$ (гипотенуза), радиусом вписанной окружности $r$ (катет) и половиной стороны треугольника $a/2$ (второй катет). Угол при вершине треугольника, противолежащий катету $r$, равен $30^\circ$ (так как радиусы описанной окружности, проведенные к вершинам, делят углы треугольника пополам, а каждый угол правильного треугольника равен $60^\circ$).

Связь стороны с радиусом описанной окружности $R$:$ \sin(60^\circ) = \frac{a/2}{R} $ - это неверно. Правильно так: центральный угол, опирающийся на сторону $a$, равен $360^\circ/3 = 120^\circ$. По теореме косинусов для равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $R$ и углом $120^\circ$ между ними:$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ) = 2R^2 - 2R^2(-\frac{1}{2}) = 3R^2$Отсюда: $a = R\sqrt{3}$

Связь стороны с радиусом вписанной окружности $r$:В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом $r$, половиной стороны $a/2$ и отрезком радиуса $R$, угол, противолежащий катету $r$, равен $30^\circ$.$ \tan(30^\circ) = \frac{r}{a/2} $$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2r}{a} \implies a = 2r\sqrt{3} $

Ответ: $a = R\sqrt{3}$; $a = 2r\sqrt{3}$.

2) четырехугольник

Для построения правильного четырехугольника (квадрата) строим окружность, проводим в ней два взаимно перпендикулярных диаметра. Последовательное соединение концов этих диаметров дает вершины квадрата.

Центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Радиус описанной окружности $R$ — это расстояние от центра до вершины (половина диагонали квадрата). Радиус вписанной окружности $r$ — это расстояние от центра до середины стороны (половина стороны квадрата).

Выразим сторону квадрата $a$ через радиусы $R$ и $r$.

Связь стороны с радиусом описанной окружности $R$:Диагональ квадрата $d$ равна диаметру описанной окружности, $d = 2R$. С другой стороны, по теореме Пифагора, $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$.Приравнивая выражения для диагонали, получаем:$ a\sqrt{2} = 2R \implies a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} $

Связь стороны с радиусом вписанной окружности $r$:Из построения видно, что радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.$ r = \frac{a}{2} \implies a = 2r $

Ответ: $a = R\sqrt{2}$; $a = 2r$.

3) шестиугольник

Для построения правильного шестиугольника строим окружность и, начиная с любой точки на ней, откладываем циркулем, раствор которого равен радиусу окружности, шесть дуг. Точки пересечения этих дуг с окружностью являются вершинами искомого шестиугольника.

Центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Из построения следует, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

Выразим сторону правильного шестиугольника $a$ через радиусы $R$ и $r$.

Связь стороны с радиусом описанной окружности $R$:Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности. Стороны этих треугольников равны радиусу описанной окружности $R$. Основания этих треугольников являются сторонами шестиугольника. Следовательно,$ a = R $

Связь стороны с радиусом вписанной окружности $r$:Радиус вписанной окружности $r$ является высотой (апофемой) в одном из этих равносторонних треугольников со стороной $a$. Высота в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{\text{сторона} \cdot \sqrt{3}}{2}$.$ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} $Отсюда выражаем сторону $a$:$ a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}r}{3} $

Ответ: $a = R$; $a = \frac{2\sqrt{3}r}{3}$.