Страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

РАБОТА В ГРУППЕ

Сколько осей симметрии имеется в правильном $n$-угольнике?

Может ли правильный $n$-угольник иметь центр симметрии?

Какие многоугольники имеют центр симметрии? Обоснуйте ответ.

Сколько осей симметрии имеется в правильном n-угольнике?

Число осей симметрии правильного $n$-угольника всегда равно $n$. Однако тип этих осей зависит от четности числа сторон $n$.

1. Если $n$ — нечетное число (например, правильный треугольник, пятиугольник), то каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противолежащей ей стороны. Так как вершин $n$, то и осей симметрии тоже $n$.

Пример: ось симметрии правильного пятиугольника ($n=5$).

2. Если $n$ — четное число (например, квадрат, правильный шестиугольник), то оси симметрии бывают двух типов:
• $n/2$ осей, проходящих через пары противолежащих вершин.
• $n/2$ осей, проходящих через середины пар противолежащих сторон.
В сумме получается $n/2 + n/2 = n$ осей симметрии.

Пример: два типа осей симметрии правильного шестиугольника ($n=6$).

Таким образом, в любом случае правильный $n$-угольник имеет ровно $n$ осей симметрии.

Ответ: Правильный $n$-угольник имеет $n$ осей симметрии.

Может ли правильный n-угольник иметь центр симметрии?

Да, может. Центр симметрии — это точка, поворот вокруг которой на $180^\circ$ совмещает фигуру саму с собой. Наличие такого центра у правильного $n$-угольника зависит от четности $n$.

Если $n$ — четное число, то правильный $n$-угольник имеет центр симметрии. Этим центром является его геометрический центр (центр вписанной и описанной окружностей). При повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра каждая вершина переходит в противолежащую ей вершину, и многоугольник совмещается сам с собой.

Если $n$ — нечетное число, то у правильного $n$-угольника нет центра симметрии. У него нет пар противолежащих вершин, поэтому поворот на $180^\circ$ вокруг геометрического центра не может совместить многоугольник с самим собой. Каждая вершина при таком повороте отобразится в точку на серединном перпендикуляре к противолежащей стороне, но не в другую вершину.

Ответ: Да, правильный $n$-угольник может иметь центр симметрии, если число его сторон $n$ является четным.

Какие многоугольники имеют центр симметрии? Обоснуйте ответ.

Центр симметрии имеют многоугольники, которые являются центрально-симметричными фигурами. Это свойство означает, что существует такая точка $O$ (центр симметрии), что для любой точки $P$ на границе многоугольника точка $P'$, симметричная $P$ относительно $O$, также лежит на границе многоугольника.

Обоснование:
Для того чтобы многоугольник обладал центральной симметрией, его вершины и стороны должны существовать в симметричных парах.
1. Для каждой вершины $V_i$ должна найтись симметричная ей вершина $V_j$, такая что центр симметрии $O$ является серединой отрезка $V_iV_j$. Это возможно только если все вершины можно разбить на пары, а значит, их общее число $n$ должно быть четным.
2. Для каждой стороны должна существовать симметричная ей сторона, которая будет ей равна по длине и параллельна.
Таким образом, многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда у него четное число сторон, и эти стороны попарно равны и параллельны.

Примеры многоугольников, имеющих центр симметрии:
• Любой параллелограмм (включая квадрат, прямоугольник, ромб). Центр симметрии — точка пересечения диагоналей.
• Любой правильный многоугольник с четным числом сторон (квадрат, правильный шестиугольник, восьмиугольник и т.д.).
• Некоторые невыпуклые многоугольники (например, правильная гексаграмма).

Ответ: Центр симметрии имеют многоугольники с четным числом вершин, у которых для каждой стороны существует равная ей и параллельная сторона, расположенная симметрично относительно центра. Например, все параллелограммы и все правильные многоугольники с четным числом сторон.

1. Что такое ломаная? Как определяется ее длина?

2. Что такое многоугольник? Какие его элементы вы знаете? Что такое выпуклый многоугольник?

3. Какая окружность называется описанной около многоугольника, а какая – вписанной в многоугольник?

4. Что такое правильный многоугольник? Как определяется его центр?

5. Какова связь между стороной правильного $n$-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей?

6. Докажите, что любые два правильных $n$-угольника подобны.

7. На рис. 4.34 центр окружности был найден как пересечение диагоналей квадрата. Как определить в общем случае центр описанной окружности? Обоснуйте ответ.

8. С помощью рис. 4.29 и 4.30 сформулируйте алгоритм построения равностороннего треугольника и квадрата.

1. Что такое ломаная? Как определяется ее длина?

Ломаная — это геометрическая фигура, которая состоит из последовательно соединенных отрезков. Конец одного отрезка служит началом следующего. Эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки, в которых они соединяются, — вершинами ломаной.

Длина ломаной определяется как сумма длин всех ее звеньев. Если ломаная $A_1A_2...A_n$ состоит из звеньев $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{n-1}A_n$, то ее длина $L$ вычисляется по формуле: $L = |A_1A_2| + |A_2A_3| + ... + |A_{n-1}A_n|$.

Ответ: Ломаная — это фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных друг с другом. Ее длина равна сумме длин всех составляющих ее отрезков (звеньев).

2. Что такое многоугольник? Какие его элементы вы знаете? Что такое выпуклый многоугольник?

Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. Слово «простая» означает, что звенья ломаной не пересекают друг друга, кроме как в вершинах, а «замкнутая» — что конец последнего звена совпадает с началом первого.

Основные элементы многоугольника:

• Вершины — точки соединения сторон (вершины ломаной).
• Стороны — отрезки, образующие многоугольник (звенья ломаной).
• Углы — внутренние углы, образованные смежными сторонами в каждой вершине.
• Диагонали — отрезки, соединяющие две несоседние вершины.
• Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника.

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который обладает свойством лежать целиком по одну сторону от любой прямой, содержащей любую из его сторон. Альтернативно, многоугольник выпуклый, если любой отрезок, соединяющий две точки внутри многоугольника, полностью находится внутри него. Все внутренние углы выпуклого многоугольника меньше $180^\circ$.

Ответ: Многоугольник — это плоская фигура, ограниченная простой замкнутой ломаной. Его элементы: вершины, стороны, углы, диагонали. Выпуклый многоугольник — это многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через его сторону.

3. Какая окружность называется описанной около многоугольника, а какая - вписанной в многоугольник?

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Такой многоугольник называется вписанным в окружность. Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Такой многоугольник называется описанным около окружности. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов.

Ответ: Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. Вписанная окружность касается всех его сторон.

4. Что такое правильный многоугольник? Как определяется его центр?

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все внутренние углы равны между собой. Примерами могут служить равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.

У любого правильного многоугольника существуют и вписанная, и описанная окружности, причем их центры совпадают. Эта общая точка называется центром правильного многоугольника. Центр равноудален от всех вершин и от всех сторон многоугольника. Найти его можно как точку пересечения биссектрис углов или как точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Ответ: Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Его центр — это общий центр его вписанной и описанной окружностей.

5. Какова связь между стороной правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей?

Пусть $a_n$ — длина стороны правильного n-угольника, $R$ — радиус описанной окружности (соединяет центр с вершиной), и $r$ — радиус вписанной окружности (перпендикуляр из центра к стороне).

Связь между этими величинами выражается следующими формулами:

• Сторона через радиус описанной окружности: $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
• Сторона через радиус вписанной окружности: $a_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
• Радиус описанной окружности через сторону: $R = \frac{a_n}{2 \sin(180^\circ/n)}$
• Радиус вписанной окружности через сторону: $r = \frac{a_n}{2 \tan(180^\circ/n)}$
• Связь между радиусами: $r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Ответ: Связь выражается формулами $a_n = 2R \sin(180^\circ/n)$ и $a_n = 2r \tan(180^\circ/n)$, где $a_n$ — сторона, $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей, $n$ — число сторон.

6. Докажите, что любые два правильных n-угольника подобны.

Для доказательства подобия двух многоугольников необходимо показать, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Рассмотрим два правильных n-угольника, $P_1$ и $P_2$.

1. Равенство углов. Величина каждого внутреннего угла правильного n-угольника постоянна и равна $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Так как у обоих многоугольников число сторон одинаково ($n$), то все их внутренние углы равны этой величине. Следовательно, все соответственные углы $P_1$ и $P_2$ равны.

2. Пропорциональность сторон. Пусть сторона многоугольника $P_1$ равна $a_1$, а сторона многоугольника $P_2$ равна $a_2$. Так как многоугольники правильные, все стороны $P_1$ равны $a_1$, а все стороны $P_2$ равны $a_2$. Отношение длин любой пары соответственных сторон будет постоянным и равным $\frac{a_1}{a_2}$.

Поскольку оба условия подобия выполняются, любые два правильных n-угольника подобны.

Ответ: Доказано. Два правильных n-угольника подобны, так как у них равны все соответствующие углы и пропорциональны все соответствующие стороны.

7. На рис. 4.34 центр окружности был найден как пересечение диагоналей квадрата. Как определить в общем случае центр описанной окружности? Обоснуйте ответ.

В общем случае для многоугольника, около которого можно описать окружность, ее центр определяется как точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника.

Обоснование: По определению, описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. Это означает, что ее центр ($O$) должен быть равноудален от всех вершин ($A_1, A_2, ..., A_n$), то есть $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$.

Множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек (например, от вершин $A_1$ и $A_2$), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки ($A_1A_2$).

Следовательно, центр $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре к стороне $A_1A_2$, к стороне $A_2A_3$ и так далее для всех сторон. Таким образом, центр описанной окружности — это единственная точка, принадлежащая всем серединным перпендикулярам, то есть их точка пересечения. Если эти перпендикуляры не пересекаются в одной точке, то описать окружность около такого многоугольника нельзя.

Ответ: Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, так как эта точка равноудалена от всех его вершин.

8. С помощью рис. 4.29 и 4.30 сформулируйте алгоритм построения равностороннего треугольника и квадрата.

(Так как рисунки не предоставлены, приводятся стандартные алгоритмы построения циркулем и линейкой).

Алгоритм построения равностороннего треугольника:

1. Начертите отрезок $AB$, который будет служить первой стороной треугольника.
2. Установите раствор циркуля равным длине $AB$.
3. Из точки $A$ как из центра проведите дугу окружности.
4. Из точки $B$ как из центра проведите вторую дугу тем же радиусом до пересечения с первой. Обозначьте точку пересечения буквой $C$.
5. Соедините отрезками точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — равносторонний.

Алгоритм построения квадрата:

1. Начертите отрезок $AB$ — первую сторону квадрата.
2. В точке $A$ постройте прямую, перпендикулярную $AB$.
3. Раствором циркуля, равным длине $AB$, отложите на этой перпендикулярной прямой отрезок $AD$.
4. Из точек $B$ и $D$ проведите две дуги радиусом, равным $AB$, до их пересечения. Обозначьте точку пересечения $C$.
5. Соедините отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$. Четырехугольник $ABCD$ — квадрат.

Ответ: Равносторонний треугольник строится циркулем из двух точек на концах отрезка-основания. Квадрат строится последовательным построением перпендикуляров и откладыванием на них отрезков равной длины.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Постройте правильный: 1) треугольник; 2) четырехугольник; 3) шестиугольник. Постройте описанную около них и вписанную в них окружности. Выразите стороны многоугольников через радиусы описанной около них и вписанной в них окружностей.

1) правильный треугольник

Для построения правильного (равностороннего) треугольника используется циркуль и линейка. Сначала строится окружность, которая будет являться описанной около треугольника. Затем, установив раствор циркуля равным радиусу этой окружности, на ней последовательно откладываются шесть дуг, делящих окружность на шесть равных частей. Соединив точки через одну, получим вершины правильного треугольника.

Центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности. Радиус вписанной окружности — это перпендикуляр, опущенный из центра на любую из сторон треугольника.

Выразим сторону правильного треугольника $a$ через радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом описанной окружности $R$ (гипотенуза), радиусом вписанной окружности $r$ (катет) и половиной стороны треугольника $a/2$ (второй катет). Угол при вершине треугольника, противолежащий катету $r$, равен $30^\circ$ (так как радиусы описанной окружности, проведенные к вершинам, делят углы треугольника пополам, а каждый угол правильного треугольника равен $60^\circ$).

Связь стороны с радиусом описанной окружности $R$:$ \sin(60^\circ) = \frac{a/2}{R} $ - это неверно. Правильно так: центральный угол, опирающийся на сторону $a$, равен $360^\circ/3 = 120^\circ$. По теореме косинусов для равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $R$ и углом $120^\circ$ между ними:$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ) = 2R^2 - 2R^2(-\frac{1}{2}) = 3R^2$Отсюда: $a = R\sqrt{3}$

Связь стороны с радиусом вписанной окружности $r$:В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом $r$, половиной стороны $a/2$ и отрезком радиуса $R$, угол, противолежащий катету $r$, равен $30^\circ$.$ \tan(30^\circ) = \frac{r}{a/2} $$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2r}{a} \implies a = 2r\sqrt{3} $

Ответ: $a = R\sqrt{3}$; $a = 2r\sqrt{3}$.

2) четырехугольник

Для построения правильного четырехугольника (квадрата) строим окружность, проводим в ней два взаимно перпендикулярных диаметра. Последовательное соединение концов этих диаметров дает вершины квадрата.

Центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Радиус описанной окружности $R$ — это расстояние от центра до вершины (половина диагонали квадрата). Радиус вписанной окружности $r$ — это расстояние от центра до середины стороны (половина стороны квадрата).

Выразим сторону квадрата $a$ через радиусы $R$ и $r$.

Связь стороны с радиусом описанной окружности $R$:Диагональ квадрата $d$ равна диаметру описанной окружности, $d = 2R$. С другой стороны, по теореме Пифагора, $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$.Приравнивая выражения для диагонали, получаем:$ a\sqrt{2} = 2R \implies a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} $

Связь стороны с радиусом вписанной окружности $r$:Из построения видно, что радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.$ r = \frac{a}{2} \implies a = 2r $

Ответ: $a = R\sqrt{2}$; $a = 2r$.

3) шестиугольник

Для построения правильного шестиугольника строим окружность и, начиная с любой точки на ней, откладываем циркулем, раствор которого равен радиусу окружности, шесть дуг. Точки пересечения этих дуг с окружностью являются вершинами искомого шестиугольника.

Центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Из построения следует, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

Выразим сторону правильного шестиугольника $a$ через радиусы $R$ и $r$.

Связь стороны с радиусом описанной окружности $R$:Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности. Стороны этих треугольников равны радиусу описанной окружности $R$. Основания этих треугольников являются сторонами шестиугольника. Следовательно,$ a = R $

Связь стороны с радиусом вписанной окружности $r$:Радиус вписанной окружности $r$ является высотой (апофемой) в одном из этих равносторонних треугольников со стороной $a$. Высота в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{\text{сторона} \cdot \sqrt{3}}{2}$.$ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} $Отсюда выражаем сторону $a$:$ a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}r}{3} $

Ответ: $a = R$; $a = \frac{2\sqrt{3}r}{3}$.

4.99. Может ли простая замкнутая ломаная иметь звенья, равные $1\text{ см}$, $2\text{ см}$, $3\text{ см}$, $4\text{ см}$ и $11\text{ см}$?

Простая замкнутая ломаная представляет собой многоугольник, у которого звенья являются сторонами. Для того чтобы многоугольник мог существовать, должно выполняться свойство, известное как неравенство многоугольника. Оно гласит, что длина любой стороны многоугольника должна быть строго меньше суммы длин всех остальных его сторон.

Для проверки этого свойства достаточно рассмотреть самую длинную сторону (звено). Если ее длина меньше суммы длин остальных сторон, то и любая другая, более короткая сторона, заведомо будет меньше соответствующей суммы.

В задаче даны длины звеньев: 1 см, 2 см, 3 см, 4 см и 11 см.

Длина самого длинного звена составляет $11$ см.

Найдем сумму длин остальных четырех звеньев: $S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$ см.

Теперь сравним длину самого длинного звена с полученной суммой: $11 \text{ см} > 10 \text{ см}$.

Поскольку длина самого длинного звена оказалась больше суммы длин остальных звеньев, неравенство многоугольника не выполняется. Это означает, что такую замкнутую ломаную построить невозможно. Геометрически это можно представить так: если взять отрезок длиной 11 см, то остальные четыре отрезка, даже будучи вытянутыми в одну прямую линию, покроют расстояние лишь в 10 см и не смогут соединить концы исходного, самого длинного отрезка.

Ответ: Нет, не может.