Страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.82. Отношение катетов в прямоугольном треугольнике равно $3:4$, а гипотенуза равна 50 см. На какие отрезки делит гипотенузу высота, опущенная из прямого угла?

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Согласно условию задачи, отношение катетов $a:b = 3:4$, а гипотенуза $c = 50$ см.

1. Сначала найдем длины катетов. Так как их отношение равно $3:4$, можно представить их как $a = 3x$ и $b = 4x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим значения в формулу:

$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$

$9x^2 + 16x^2 = 2500$

$25x^2 = 2500$

$x^2 = \frac{2500}{25}$

$x^2 = 100$

$x = 10$ (так как длина стороны должна быть положительной).

Теперь можем вычислить длины катетов:

$a = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ см

$b = 4x = 4 \cdot 10 = 40$ см

2. Теперь найдем длины отрезков, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит гипотенузу. Пусть высота делит гипотенузу $c$ на отрезки $c_a$ и $c_b$, которые являются проекциями катетов $a$ и $b$ на гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике существуют метрические соотношения, согласно которым квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. То есть:

$a^2 = c \cdot c_a$

$b^2 = c \cdot c_b$

Вычислим длину первого отрезка $c_a$, который является проекцией катета $a$:

$30^2 = 50 \cdot c_a$

$900 = 50 \cdot c_a$

$c_a = \frac{900}{50} = 18$ см

Вычислим длину второго отрезка $c_b$, который является проекцией катета $b$:

$40^2 = 50 \cdot c_b$

$1600 = 50 \cdot c_b$

$c_b = \frac{1600}{50} = 32$ см

Для проверки можно сложить длины полученных отрезков: $18 + 32 = 50$ см, что равно длине гипотенузы.

Ответ: высота делит гипотенузу на отрезки 18 см и 32 см.

4.83. Высота, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, меньший из которых равен 11 см. Найдите гипотенузу, если отношение катетов треугольника равно $6:5$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Из вершины $C$ на гипотенузу $AB$ проведена высота $CD$, длина которой $h$. Высота делит гипотенузу на два отрезка $AD$ и $DB$, которые являются проекциями катетов $b$ и $a$ на гипотенузу соответственно. Обозначим эти проекции как $c_b = AD$ и $c_a = DB$.

По условию задачи отношение катетов равно $6:5$. Пусть $a$ и $b$ — катеты, тогда $a/b = 6/5$. Также известно, что меньший из отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равен $11$ см.

Для решения задачи воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:

$a^2 = c \cdot c_a$

$b^2 = c \cdot c_b$

Разделив первое уравнение на второе, получим отношение проекций:

$\frac{a^2}{b^2} = \frac{c \cdot c_a}{c \cdot c_b} = \frac{c_a}{c_b}$

Поскольку нам дано отношение катетов $a/b = 6/5$, мы можем найти отношение их квадратов:

$\frac{a^2}{b^2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}$

Следовательно, отношение проекций катетов на гипотенузу также равно $36/25$:

$\frac{c_a}{c_b} = \frac{36}{25}$

Из этого соотношения видно, что проекция $c_a$ больше проекции $c_b$. Это логично, так как большему катету ($a$) соответствует большая проекция ($c_a$). По условию, меньший из отрезков (проекций) равен $11$ см. Значит, $c_b = 11$ см.

Теперь найдем длину большей проекции $c_a$:

$c_a = c_b \cdot \frac{36}{25} = 11 \cdot \frac{36}{25} = \frac{396}{25}$ см.

Гипотенуза $c$ равна сумме длин её отрезков (проекций катетов):

$c = c_a + c_b = \frac{396}{25} + 11$

Приведем к общему знаменателю:

$c = \frac{396}{25} + \frac{11 \cdot 25}{25} = \frac{396}{25} + \frac{275}{25} = \frac{396 + 275}{25} = \frac{671}{25}$ см.

Переведем в десятичную дробь для удобства:

$c = \frac{671}{25} = 26.84$ см.

Ответ: $26.84$ см.

4.84. Какие условия должны выполняться, чтобы центр окружности, описанной около треугольника, был внутри треугольника, снаружи или на одной из его сторон?

Положение центра окружности, описанной около треугольника (точки пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам), зависит от вида углов треугольника. Возможны три случая.

...внутри треугольника
Центр описанной окружности находится внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является остроугольным. В остроугольном треугольнике все три угла меньше 90°. В этом случае точка пересечения серединных перпендикуляров всегда оказывается во внутренней области треугольника.
Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Угол при центре, опирающийся на одну из сторон, вдвое больше угла при противолежащей вершине. Например, $\angle BOC = 2\angle A$. Если все углы треугольника острые ($\angle A, \angle B, \angle C < 90^\circ$), то все соответствующие центральные углы будут меньше $180^\circ$. Это геометрически означает, что центр $O$ лежит внутри треугольника $ABC$.
Ответ: чтобы центр описанной окружности был внутри треугольника, треугольник должен быть остроугольным (все его углы должны быть меньше 90°).

...снаружи
Центр описанной окружности находится снаружи треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является тупоугольным. В тупоугольном треугольнике один из углов больше 90°. Серединные перпендикуляры к сторонам, образующим тупой угол, пересекаются за пределами треугольника. Центр окружности лежит с той же стороны от стороны, противолежащей тупому углу, что и сам треугольник.
Если в треугольнике $ABC$ угол $A$ тупой ($\angle A > 90^\circ$), то центр $O$ и вершина $A$ будут лежать по разные стороны от прямой $BC$.
Ответ: чтобы центр описанной окружности был снаружи треугольника, треугольник должен быть тупоугольным (один из его углов должен быть больше 90°).

...на одной из его сторон
Центр описанной окружности лежит на одной из его сторон тогда и только тогда, когда треугольник является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°.
Это следует из теоремы о вписанном угле: вписанный угол, равный $90^\circ$, всегда опирается на диаметр окружности. Таким образом, гипотенуза (сторона, лежащая напротив прямого угла) прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности. Центр окружности, в свою очередь, является серединой любого ее диаметра. Следовательно, центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
Ответ: чтобы центр описанной окружности был на одной из его сторон, треугольник должен быть прямоугольным (один из его углов должен быть равен 90°). Центр окружности в этом случае будет совпадать с серединой гипотенузы.

4.85. Биссектрисы $AD$ и $BK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Чему равно отношение $OK:OB$, если $AB=5$ см, $BC=3$ см, $AC=7$ см?

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $BK$ является биссектрисой угла $B$, по свойству биссектрисы угла треугольника она делит противолежащую сторону $AC$ на отрезки $AK$ и $KC$, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $BC$.

Таким образом, мы можем записать соотношение:$$ \frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC} $$Подставив известные значения $AB = 5$ см и $BC = 3$ см, получаем:$$ \frac{AK}{KC} = \frac{5}{3} $$Точка $K$ лежит на стороне $AC$, поэтому сумма длин отрезков $AK$ и $KC$ равна длине стороны $AC$:$$ AK + KC = AC = 7 \text{ см} $$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$$ \begin{cases} \frac{AK}{KC} = \frac{5}{3} \\ AK + KC = 7 \end{cases} $$Из первого уравнения можно выразить $KC$ через $AK$: $KC = \frac{3}{5}AK$. Подставим это выражение во второе уравнение:$$ AK + \frac{3}{5}AK = 7 $$$$ \frac{5AK + 3AK}{5} = 7 $$$$ \frac{8}{5}AK = 7 $$Отсюда находим длину отрезка $AK$:$$ AK = 7 \cdot \frac{5}{8} = \frac{35}{8} \text{ см} $$

Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Отрезок $AO$ является частью биссектрисы $AD$ угла $A$ треугольника $ABC$, поэтому $AO$ — это биссектриса угла $BAK$ в треугольнике $ABK$.

Снова применим свойство биссектрисы угла, но уже для треугольника $ABK$ и биссектрисы $AO$. Она делит противолежащую сторону $BK$ на отрезки $OK$ и $OB$, пропорциональные прилежащим сторонам $AK$ и $AB$:$$ \frac{OK}{OB} = \frac{AK}{AB} $$Подставим найденное значение $AK = \frac{35}{8}$ см и известное значение $AB = 5$ см в это соотношение:$$ \frac{OK}{OB} = \frac{\frac{35}{8}}{5} = \frac{35}{8 \cdot 5} = \frac{35}{40} = \frac{7}{8} $$Следовательно, искомое отношение $OK:OB$ равно $7:8$.

Для наглядности приведем схематический рисунок:

Ответ: $7:8$.

4.86. Постройте окружность, касающуюся двух данных прямых и проходящую через данную точку.

Задача состоит в построении окружности, которая касается двух заданных прямых, $l_1$ и $l_2$, и проходит через заданную точку $M$. Решение задачи зависит от взаимного расположения прямых $l_1$ и $l_2$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Данные прямые пересекаются

Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $S$.

Анализ:

Центр $O$ любой окружности, касающейся двух пересекающихся прямых, должен быть равноудален от этих прямых. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, являются биссектрисы углов, образованных этими прямыми. Пусть это будут биссектрисы $b_1$ и $b_2$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ лежит на одной из этих биссектрис. Кроме того, окружность должна проходить через точку $M$. Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $M$ равно радиусу окружности $R$, то есть $OM = R$. Также, поскольку окружность касается прямой $l_1$ (и $l_2$), расстояние от центра $O$ до прямой $l_1$ также равно радиусу $R$.

Следовательно, задача сводится к нахождению на биссектрисе $b_1$ (или $b_2$) такой точки $O$, что $OM = \text{dist}(O, l_1)$.

Эту задачу удобно решать методом гомотетии (подобия).

Построение:

1. Находим точку пересечения $S$ прямых $l_1$ и $l_2$. 2. Строим биссектрисы $b_1$ и $b_2$ углов, образованных прямыми $l_1$ и $l_2$. 3. Выберем одну из биссектрис, например, $b_1$. 4. На биссектрисе $b_1$ выберем произвольную точку $O'$ и построим вспомогательную окружность $\omega'$, касающуюся прямых $l_1$ и $l_2$. Для этого из точки $O'$ опустим перпендикуляр на прямую $l_1$, получим точку $H'$. Радиус этой окружности будет равен $O'H'$. 5. Проведем прямую через точку пересечения прямых $S$ и данную точку $M$. 6. Эта прямая $SM$ пересечет вспомогательную окружность $\omega'$ в двух точках (если $M$ не совпадает с $S$) — назовем их $M'_1$ и $M'_2$. 7. Искомая окружность $\omega$ гомотетична окружности $\omega'$ с центром гомотетии в точке $S$. Точка $M$ на искомой окружности соответствует одной из точек $M'_1$ или $M'_2$ на вспомогательной. 8. Через точку $M$ проведем прямую, параллельную отрезку $O'M'_1$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $b_1$ и будет центром первой искомой окружности $O_1$. 9. Аналогично, через точку $M$ проведем прямую, параллельную отрезку $O'M'_2$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $b_1$ даст центр второй искомой окружности $O_2$. 10. Радиусами искомых окружностей будут соответственно отрезки $O_1M$ и $O_2M$. 11. Повторив шаги 4-10 для второй биссектрисы $b_2$, можно найти еще до двух решений.

В зависимости от положения точки $M$ задача может иметь до четырех решений.

Ответ: Центр искомой окружности лежит на одной из биссектрис углов, образованных данными прямыми. Построение выполняется методом гомотетии: строится вспомогательная окружность, касающаяся данных прямых, а затем с помощью гомотетии с центром в точке пересечения прямых находится искомая окружность, проходящая через данную точку $M$.

Случай 2: Данные прямые параллельны

Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны.

Анализ:

Центр $O$ любой окружности, касающейся двух параллельных прямых, должен быть равноудален от них. Геометрическим местом таких точек является прямая $m$, параллельная $l_1$ и $l_2$ и проходящая посередине между ними (средняя линия).

Радиус $R$ такой окружности однозначно определен и равен половине расстояния между прямыми $l_1$ и $l_2$.

Так как искомая окружность должна проходить через точку $M$, то расстояние от ее центра $O$ до точки $M$ должно быть равно радиусу $R$, то есть $OM = R$.

Таким образом, задача сводится к нахождению на прямой $m$ точек $O$, удаленных от данной точки $M$ на известное расстояние $R$. Таких точек может быть ноль, одна или две.

Построение:

1. Проводим прямую, перпендикулярную $l_1$ и $l_2$, и находим точки их пересечения $H_1$ и $H_2$. 2. Находим середину отрезка $H_1H_2$. Через эту точку проводим прямую $m$, параллельную $l_1$. Это и будет средняя линия. 3. Измеряем расстояние $R$, равное половине длины отрезка $H_1H_2$. 4. Строим окружность с центром в точке $M$ и радиусом $R$. 5. Точки пересечения этой окружности с прямой $m$ (если они существуют) являются центрами искомых окружностей $O_1$ и $O_2$. 6. Строим окружности с центрами в $O_1, O_2$ и радиусом $R$.

Количество решений зависит от положения точки $M$:

• Если точка $M$ находится между прямыми $l_1$ и $l_2$, то окружность с центром в $M$ и радиусом $R$ пересечет среднюю линию $m$ в двух точках. Два решения.
• Если точка $M$ лежит на одной из прямых $l_1$ или $l_2$, то окружность коснется средней линии $m$ в одной точке. Одно решение.
• Если точка $M$ находится вне полосы, образованной прямыми $l_1$ и $l_2$, то расстояние от $M$ до средней линии $m$ будет больше, чем $R$. Пересечений не будет. Нет решений.

Ответ: Центр искомой окружности лежит на средней линии, параллельной данным прямым. Радиус окружности равен половине расстояния между прямыми. Центры находятся как точки пересечения средней линии с окружностью, построенной из точки $M$ с этим радиусом. В зависимости от положения $M$ может быть два, одно или ни одного решения.

4.87. Докажите, что если биссектриса треугольника делит его на два треугольника с равными периметрами, то этот треугольник равнобедренный.

4.87. Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Биссектриса делит исходный треугольник на два меньших треугольника: $△ABD$ и $△CBD$.

Обозначим длины сторон треугольника $ABC$ как $AB = c$ и $BC = a$. Длину биссектрисы обозначим как $BD = l$. Точка $D$ делит сторону $AC$ на два отрезка: $AD$ и $CD$.

По условию задачи периметры треугольников $△ABD$ и $△CBD$ равны. Запишем это равенство:

$P_{△ABD} = P_{△CBD}$

$AB + AD + BD = BC + CD + BD$

Подставим наши обозначения:

$c + AD + l = a + CD + l$

Вычитая $l$ из обеих частей равенства, получаем:

$c + AD = a + CD$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы выразить разность отрезков $AD$ и $CD$:

$AD - CD = a - c$ (1)

Далее воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Оно гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}$ (2)

Из уравнения (2) выразим $AD$:

$AD = \frac{c}{a} \cdot CD$

Теперь подставим это выражение для $AD$ в уравнение (1):

$\frac{c}{a} \cdot CD - CD = a - c$

Вынесем $CD$ за скобки в левой части:

$CD \cdot (\frac{c}{a} - 1) = a - c$

$CD \cdot \frac{c - a}{a} = a - c$

Заметим, что $a - c = -(c - a)$. Перепишем уравнение в виде:

$CD \cdot \frac{c - a}{a} = -(c - a)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$CD \cdot \frac{c - a}{a} + (c - a) = 0$

Вынесем общий множитель $(c - a)$ за скобки:

$(c - a) \cdot (\frac{CD}{a} + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. $c - a = 0 \implies c = a$.

2. $\frac{CD}{a} + 1 = 0$. Так как $CD$ (длина отрезка) и $a$ (длина стороны треугольника) являются положительными величинами, то их отношение $\frac{CD}{a}$ также положительно. Следовательно, сумма $\frac{CD}{a} + 1$ всегда будет больше 1 и не может равняться нулю.

Таким образом, единственно возможным является первый случай: $c = a$.

Это означает, что стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что если биссектриса треугольника делит его на два треугольника с равными периметрами, то стороны, между которыми проходит биссектриса, равны между собой. Следовательно, такой треугольник является равнобедренным.

4.88. Ромб $ADEF$ вписан в треугольник $ABC$ так, что его вершины $D, E, F$ лежат на сторонах $AB, BC, AC$ соответственно. Найдите отрезки $BE$ и $EC$, если $AB=14$ см, $BC=12$ см и $AC=10$ см.

Дано:
Треугольник $ABC$.
Ромб $ADEF$ вписан в треугольник $ABC$.
Вершина $A$ у треугольника и ромба общая.
Вершины $D, E, F$ лежат на сторонах $AB, BC, AC$ соответственно.
$AB = 14$ см.
$BC = 12$ см.
$AC = 10$ см.

Найти:
Длины отрезков $BE$ и $EC$.

Решение:

Для наглядности представим чертеж:

1. По условию, четырехугольник $ADEF$ — ромб. Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали являются биссектрисами его углов. В нашем случае, отрезок $AE$ является диагональю ромба $ADEF$.

2. Следовательно, диагональ $AE$ делит угол $DAF$ пополам. Поскольку вершины $D$ и $F$ ромба лежат на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника, угол $DAF$ совпадает с углом $BAC$ треугольника $ABC$. Таким образом, отрезок $AE$ является биссектрисой угла $BAC$ в треугольнике $ABC$.

3. Применим свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону (в данном случае $BC$) на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника (в данном случае $AB$ и $AC$).

Запишем это свойство в виде формулы:
$ \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} $

4. Подставим в эту формулу известные длины сторон $AB = 14$ см и $AC = 10$ см:
$ \frac{BE}{EC} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} $

5. Из полученного соотношения мы можем выразить длину одного отрезка через другой: $BE = \frac{7}{5} EC$.
Также мы знаем, что точка $E$ лежит на стороне $BC$, поэтому сумма длин отрезков $BE$ и $EC$ равна длине стороны $BC$:
$ BE + EC = BC = 12 $ см.

6. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} BE = \frac{7}{5} EC \\ BE + EC = 12 \end{cases} $
Подставим выражение для $BE$ из первого уравнения во второе:
$ \frac{7}{5} EC + EC = 12 $
Вынесем $EC$ за скобки:
$ (\frac{7}{5} + 1) EC = 12 $
$ (\frac{7}{5} + \frac{5}{5}) EC = 12 $
$ \frac{12}{5} EC = 12 $
Чтобы найти $EC$, разделим обе части уравнения на $\frac{12}{5}$ (или умножим на $\frac{5}{12}$):
$ EC = 12 \cdot \frac{5}{12} $
$ EC = 5 $ см.

7. Зная $EC$, найдем длину отрезка $BE$ из второго уравнения системы:
$ BE = 12 - EC = 12 - 5 = 7 $ см.

Проверим полученные значения: $BE/EC = 7/5$. Соотношение верное.

Ответ: $BE = 7$ см, $EC = 5$ см.

4.89. Докажите, что если две медианы треугольника равны, то он равнобедренный.

Дано:
Треугольник $ABC$.
$AE$ и $BD$ — медианы треугольника $ABC$.
$AE = BD$.

Доказать:
Треугольник $ABC$ — равнобедренный, то есть $AC = BC$.

Доказательство:
Медианы $AE$ и $BD$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. По свойству медиан, точка их пересечения (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Таким образом, для медианы $AE$ справедливо соотношение:
$AO = \frac{2}{3}AE$ и $OE = \frac{1}{3}AE$.
Аналогично для медианы $BD$:
$BO = \frac{2}{3}BD$ и $OD = \frac{1}{3}BD$.

По условию задачи, длины медиан равны: $AE = BD$.
Из этого следует, что их соответствующие части также равны:
$AO = \frac{2}{3}AE = \frac{2}{3}BD = BO$.
$OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}BD = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOE$. В этих треугольниках:
1. $AO = BO$ (как доказано выше).
2. $OD = OE$ (как доказано выше).
3. $\angle AOD = \angle BOE$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольник $\triangle AOD$ равен треугольнику $\triangle BOE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AD = BE$.

По определению медианы, точка $D$ является серединой стороны $AC$, а точка $E$ — серединой стороны $BC$. Это означает, что:
$AD = \frac{1}{2}AC$
$BE = \frac{1}{2}BC$

Поскольку мы доказали, что $AD = BE$, то можем записать:
$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BC$
Отсюда следует, что $AC = BC$.

Так как две стороны треугольника $ABC$ равны, то по определению он является равнобедренным.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник, у которого две медианы равны, является равнобедренным.

4.90. Из одной точки к окружности проведены секущая и касательная. Сумма их длин равна 30 см, а внешний отрезок секущей короче касательной на 2 см. Найдите касательную и секущую.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

$t$ — длина касательной в см.
$s$ — длина секущей в см.
$e$ — длина внешнего отрезка секущей в см.

Визуализируем условие задачи:

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Сумма длин касательной и секущей равна 30 см: $t + s = 30$.

2. Внешний отрезок секущей короче касательной на 2 см: $e = t - 2$.

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Согласно этой теореме, квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть:

$t^2 = s \cdot e$

Получаем систему из трех уравнений:

$\begin{cases} t + s = 30 \\ e = t - 2 \\ t^2 = s \cdot e\end{cases}$

Для решения системы выразим $s$ из первого уравнения: $s = 30 - t$.

Теперь подставим выражения для $s$ и $e$ в третье уравнение:

$t^2 = (30 - t)(t - 2)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 = 30t - 60 - t^2 + 2t$

$t^2 = 32t - 60 - t^2$

$2t^2 - 32t + 60 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$t^2 - 16t + 30 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 256 - 120 = 136$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$

$t = \frac{16 \pm 2\sqrt{34}}{2} = 8 \pm \sqrt{34}$

Таким образом, мы получили два возможных значения для длины касательной:

$t_1 = 8 + \sqrt{34}$ и $t_2 = 8 - \sqrt{34}$.

Оба значения положительны и больше 2 (так как $\sqrt{34} \approx 5.83$), поэтому длина внешнего отрезка секущей $e = t - 2$ также будет положительной в обоих случаях. Следовательно, задача имеет два решения.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1. Длина касательной $t_1 = 8 + \sqrt{34}$ см.
Тогда длина секущей $s_1 = 30 - t_1 = 30 - (8 + \sqrt{34}) = 22 - \sqrt{34}$ см.

Случай 2. Длина касательной $t_2 = 8 - \sqrt{34}$ см.
Тогда длина секущей $s_2 = 30 - t_2 = 30 - (8 - \sqrt{34}) = 22 + \sqrt{34}$ см.

Обе пары чисел удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: Длина касательной $(8 + \sqrt{34})$ см и длина секущей $(22 - \sqrt{34})$ см, либо длина касательной $(8 - \sqrt{34})$ см и длина секущей $(22 + \sqrt{34})$ см.

4.91. В полуокружность с центром в точке $O$ и радиусом 16 см вписана окружность диаметром 12 см. Найдите расстояние от точки касания малой окружности диаметром до точки $O$.

Обозначим данные из условия задачи:

• $R$ — радиус большой полуокружности с центром в точке $O$. По условию $R = 16$ см.
• $d$ — диаметр вписанной (малой) окружности. По условию $d = 12$ см.
• $r$ — радиус малой окружности. $r = d / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Пусть центр малой окружности будет в точке $O'$, а точка касания малой окружности с диаметром большой полуокружности — в точке $A$. Нам нужно найти расстояние $OA$.

Для наглядности построим чертеж:

Рассмотрим треугольник $\triangle OO'A$.

1. Отрезок $O'A$ является радиусом малой окружности, проведенным к точке касания $A$ на диаметре большой полуокружности. Следовательно, отрезок $O'A$ перпендикулярен этому диаметру. Это означает, что $\triangle OO'A$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $A$. Длина катета $O'A$ равна радиусу малой окружности: $O'A = r = 6$ см.

2. Малая окружность вписана в полуокружность, что означает, что она касается дуги полуокружности внутренним образом. Расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно разности их радиусов (для внутреннего касания). Пусть точка касания окружностей — $B$. Точки $O$, $O'$ и $B$ лежат на одной прямой. Расстояние между центрами $O$ и $O'$ равно:$OO' = OB - O'B = R - r = 16 - 6 = 10$ см.В треугольнике $\triangle OO'A$ этот отрезок является гипотенузой.

3. Теперь мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle OO'A$, в котором известны гипотенуза $OO' = 10$ см и один из катетов $O'A = 6$ см. Требуется найти длину второго катета $OA$.

Применим теорему Пифагора: $OA^2 + O'A^2 = OO'^2$.

Подставим известные значения:

$OA^2 + 6^2 = 10^2$

$OA^2 + 36 = 100$

$OA^2 = 100 - 36$

$OA^2 = 64$

$OA = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от точки касания малой окружности диаметром до точки $O$ составляет 8 см.

Ответ: 8 см.