Страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

РАБОТА В ГРУППЕ

Покажите справедливость следующих формул:

$S_n = \frac{1}{2} n \cdot a_n \cdot r,$ (3)

$S_n = \frac{1}{4} n \cdot a_n \sqrt{4R^2 - a_n^2},$ (4)

$a_n^2=4(R^2-r^2),$ (5)

здесь $S_n$–площадь правильного $n$-угольника, $a_n$–его сторона, $R$–радиус описанной окружности, $r$–радиус вписанной окружности (рис. 4.28).

Для доказательства справедливости представленных формул рассмотрим правильный $n$-угольник. Обозначим длину его стороны как $a_n$, радиус описанной окружности как $R$, и радиус вписанной окружности как $r$.

Правильный $n$-угольник можно разбить на $n$ равных между собой равнобедренных треугольников с общей вершиной в центре многоугольника $O$. Пусть $\triangle AOB$ — один из таких треугольников, где $A$ и $B$ — две соседние вершины многоугольника. Сторона $AB$ равна $a_n$. Радиус описанной окружности $R$ равен боковым сторонам этого треугольника, $OA = OB = R$.

Проведем из точки $O$ высоту $OH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Длина этой высоты $OH$ равна радиусу вписанной окружности $r$. Точка $H$ является серединой стороны $AB$, поэтому $AH = HB = \frac{a_n}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$. Его гипотенуза — $OA = R$, а катеты — $OH = r$ и $AH = \frac{a_n}{2}$. Эти соотношения иллюстрирует следующий рисунок:

$S_n = \frac{1}{2} n \cdot a_n \cdot r$

Площадь $S_n$ правильного $n$-угольника равна произведению числа сторон $n$ на площадь одного из равнобедренных треугольников, на которые он разбит, например, $\triangle AOB$.

$S_n = n \cdot S_{\triangle AOB}$

Площадь треугольника $\triangle AOB$ вычисляется как половина произведения его основания $AB$ на высоту $OH$.

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH$

Подставляя известные нам обозначения $AB=a_n$ и $OH=r$, получаем:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} a_n r$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади $n$-угольника:

$S_n = n \cdot \left(\frac{1}{2} a_n r\right) = \frac{1}{2} n \cdot a_n \cdot r$

Таким образом, справедливость формулы (3) доказана.

Ответ: Формула $S_n = \frac{1}{2} n \cdot a_n \cdot r$ справедлива.

$S_n = \frac{1}{4} n \cdot a_n \sqrt{4R^2 - a_n^2}$

Для доказательства этой формулы воспользуемся уже доказанной формулой (3): $S_n = \frac{1}{2} n \cdot a_n \cdot r$. Нам нужно выразить радиус вписанной окружности $r$ через радиус описанной окружности $R$ и сторону $a_n$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$OA^2 = OH^2 + AH^2$

Подставим наши обозначения $OA=R$, $OH=r$ и $AH=\frac{a_n}{2}$:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{a_n}{2}\right)^2$

Выразим $r^2$ из этого уравнения:

$r^2 = R^2 - \frac{a_n^2}{4} = \frac{4R^2 - a_n^2}{4}$

Так как $r$ — это длина, $r>0$, извлекаем квадратный корень:

$r = \sqrt{\frac{4R^2 - a_n^2}{4}} = \frac{\sqrt{4R^2 - a_n^2}}{2}$

Теперь подставим это выражение для $r$ в формулу площади $S_n$:

$S_n = \frac{1}{2} n \cdot a_n \cdot \left(\frac{\sqrt{4R^2 - a_n^2}}{2}\right) = \frac{n \cdot a_n \sqrt{4R^2 - a_n^2}}{4} = \frac{1}{4} n \cdot a_n \sqrt{4R^2 - a_n^2}$

Таким образом, справедливость формулы (4) доказана.

Ответ: Формула $S_n = \frac{1}{4} n \cdot a_n \sqrt{4R^2 - a_n^2}$ справедлива.

$a_n^2 = 4(R^2 - r^2)$

Для доказательства этой формулы снова обратимся к прямоугольному треугольнику $\triangle OHA$ и теореме Пифагора:

$OA^2 = OH^2 + AH^2$

Подставим известные обозначения $OA=R$, $OH=r$ и $AH=\frac{a_n}{2}$:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{a_n}{2}\right)^2$

Наша цель — выразить $a_n^2$. Перенесем $r^2$ в левую часть уравнения:

$R^2 - r^2 = \left(\frac{a_n}{2}\right)^2$

$R^2 - r^2 = \frac{a_n^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы получить выражение для $a_n^2$:

$4(R^2 - r^2) = a_n^2$

Таким образом, справедливость формулы (5) доказана.

Ответ: Формула $a_n^2 = 4(R^2 - r^2)$ справедлива.