Страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.100. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен:

1) $135^\circ$;

2) $150^\circ$?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой, связывающей величину внутреннего угла правильного многоугольника и количество его сторон. Существует два основных подхода: через формулу внутреннего угла или через формулу внешнего угла. Второй способ, как правило, приводит к более простым вычислениям.

Внешний угол правильного многоугольника ($\beta$) и его внутренний угол ($\alpha$) в сумме дают $180^\circ$, так как они являются смежными. То есть, $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного многоугольника с $n$ сторонами все внешние углы равны, поэтому количество сторон можно найти по формуле: $n = \frac{360^\circ}{\beta}$.

Теперь решим задачу для каждого случая.

1)

Дан внутренний угол правильного многоугольника $\alpha = 135^\circ$.

1. Найдем величину внешнего угла $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

2. Найдем количество сторон $n$, разделив $360^\circ$ на величину внешнего угла:

$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{45^\circ} = 8$

Таким образом, многоугольник имеет 8 сторон (это правильный восьмиугольник).

Ответ: 8 сторон.

2)

Дан внутренний угол правильного многоугольника $\alpha = 150^\circ$.

1. Найдем величину внешнего угла $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

2. Найдем количество сторон $n$:

$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$

Таким образом, многоугольник имеет 12 сторон (это правильный двенадцатиугольник).

Ответ: 12 сторон.

4.101. Чему равна сумма внешних углов правильного $n$-угольника?

Для нахождения суммы внешних углов правильного $n$-угольника воспользуемся свойствами его углов.

Сумма внутренних углов любого выпуклого $n$-угольника определяется по формуле: $S_{вн} = (n-2) \cdot 180^\circ$

Поскольку $n$-угольник является правильным, все его $n$ внутренних углов равны между собой. Величина одного внутреннего угла $\alpha$ равна: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Внешний угол многоугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом при этой вершине. Если внутренний угол равен $\alpha$, а соответствующий ему внешний угол равен $\beta$, то их сумма составляет $180^\circ$: $\alpha + \beta = 180^\circ$

Из этого соотношения можно выразить величину одного внешнего угла правильного $n$-угольника: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Приводя к общему знаменателю, получаем: $\beta = \frac{n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ}{n} = \frac{180^\circ n - 180^\circ n + 360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{n}$

У правильного $n$-угольника $n$ вершин, и все его внешние углы равны между собой. Чтобы найти сумму всех внешних углов $S_{внешн}$, нужно умножить величину одного внешнего угла $\beta$ на количество углов (вершин) $n$: $S_{внешн} = n \cdot \beta = n \cdot \frac{360^\circ}{n} = 360^\circ$

Таким образом, сумма внешних углов правильного $n$-угольника не зависит от количества его сторон $n$ и всегда равна $360^\circ$. Этот результат справедлив для любого выпуклого многоугольника.

Ответ: $360^\circ$.

4.102. Сколько вершин имеет правильный многоугольник, если величина каждого внешнего угла равна:

1) $36^\circ$;

2) $24^\circ$?

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Так как многоугольник является правильным, все его внешние углы равны. Если обозначить количество вершин через $n$, то величина каждого внешнего угла $\alpha_{внешн}$ вычисляется по формуле $\alpha_{внешн} = \frac{360^\circ}{n}$. Из этой формулы можно выразить количество вершин: $n = \frac{360^\circ}{\alpha_{внешн}}$.

1)

Если величина каждого внешнего угла равна $36^\circ$, то количество вершин многоугольника составляет:
$n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10$
Ответ: 10.

2)

Если величина каждого внешнего угла равна $24^\circ$, то количество вершин многоугольника составляет:
$n = \frac{360^\circ}{24^\circ} = 15$
Ответ: 15.

4.103. Какие из утверждений верны?

1) Если все стороны выпуклого многоугольника равны, то он является правильным многоугольником.

2) Если все углы выпуклого многоугольника равны, то он является правильным многоугольником.

Дополните эти утверждения так, чтобы они стали верными утверждениями.

Оба исходных утверждения неверны. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого равны и все стороны, и все углы. Наличие только одного из этих двух условий в общем случае недостаточно.

1) Утверждение «Если все стороны выпуклого многоугольника равны, то он является правильным многоугольником» — неверно.

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. Но он не обязательно будет равноугольным. Классическим контрпримером для четырёхугольников является ромб, который не является квадратом. У такого ромба все стороны равны, но углы попарно различны (два острых и два тупых). Правильным четырёхугольником является только квадрат.

Чтобы утверждение стало верным, его можно дополнить, уточнив либо второе условие (о равенстве углов), либо ограничив тип многоугольника. Например, для треугольников это утверждение верно.

Дополненное верное утверждение: Если все стороны выпуклого треугольника равны, то он является правильным многоугольником (равносторонний треугольник всегда является и равноугольным).

Ответ: утверждение неверно.

2) Утверждение «Если все углы выпуклого многоугольника равны, то он является правильным многоугольником» — неверно.

Выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, называется равноугольным. Но он не обязательно будет равносторонним. Классическим контрпримером для четырёхугольников является прямоугольник, который не является квадратом. У такого прямоугольника все углы равны (по 90°), но смежные стороны имеют разную длину.

Как и в первом случае, чтобы утверждение стало верным, его нужно дополнить. Для треугольников это утверждение также верно.

Дополненное верное утверждение: Если все углы выпуклого треугольника равны, то он является правильным многоугольником (равноугольный треугольник всегда является и равносторонним).

Ответ: утверждение неверно.

4.104. Докажите, что любой правильный многоугольник является квадратом.

4.104. Утверждение, что любой правильный многоугольник является квадратом, является ложным. В математике, чтобы опровергнуть утверждение, которое претендует на всеобщность (для "любого" объекта), достаточно привести хотя бы один контрпример. Ниже представлено развернутое доказательство ложности этого утверждения.

Для начала дадим определения:

1. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны.

2. Квадрат — это правильный четырёхугольник, то есть многоугольник, у которого 4 равные стороны и 4 равных угла, каждый по $90^\circ$.

Из этих определений следует, что квадрат является частным случаем правильного многоугольника, а именно тем, у которого число сторон $n=4$. Утверждение в задаче предполагает, что других правильных многоугольников, кроме квадрата, не существует, что неверно.

Опровержение с помощью контрпримеров

Рассмотрим правильный треугольник (равносторонний треугольник). Это правильный многоугольник, так как у него 3 равные стороны и 3 равных угла. Величина каждого угла в равностороннем треугольнике составляет $60^\circ$. Поскольку у него 3 стороны (а не 4) и углы равны $60^\circ$ (а не $90^\circ$), он не является квадратом.

Рассмотрим правильный пятиугольник. Это правильный многоугольник с 5 равными сторонами и 5 равными углами. Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для правильного пятиугольника ($n=5$):

$\alpha = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$.

Так как у правильного пятиугольника 5 сторон и углы по $108^\circ$, он не является квадратом.

Алгебраическое доказательство

Чтобы правильный n-угольник был квадратом, он должен одновременно удовлетворять двум условиям: число сторон $n$ должно быть равно 4, и величина внутреннего угла $\alpha$ должна быть равна $90^\circ$. Проверим, для каких правильных многоугольников величина внутреннего угла составляет $90^\circ$.

Приравняем формулу угла к $90^\circ$ и решим уравнение относительно $n$:

$\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = 90^\circ$

Для $n \ge 3$, мы можем умножить обе части на $n$:

$(n-2) \cdot 180 = 90n$

$180n - 360 = 90n$

$180n - 90n = 360$

$90n = 360$

$n = 4$

Это вычисление строго доказывает, что единственным правильным многоугольником, у которого внутренние углы равны $90^\circ$, является многоугольник с четырьмя сторонами, то есть квадрат. Следовательно, любой правильный многоугольник, у которого число сторон не равно четырем, не может быть квадратом.

Ответ: Утверждение неверно. Правильный многоугольник является квадратом только в том случае, если у него четыре стороны. Существуют другие правильные многоугольники (например, равносторонний треугольник, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т.д.), которые не являются квадратами, так как у них иное число сторон и другая величина внутренних углов.

4.105. При каком значении $n$ сторона правильного $n$-угольника:

1) больше радиуса описанной окружности;

2) равна радиусу описанной окружности;

3) меньше радиуса описанной окружности?

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей сторону правильного $n$-угольника $a_n$ с радиусом $R$ описанной около него окружности. Рассмотрим правильный $n$-угольник, вписанный в окружность. Соединим центр окружности O с двумя соседними вершинами A и B. Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором $OA = OB = R$, а сторона $AB = a_n$. Угол при вершине O, $\angle AOB$, является центральным углом многоугольника и равен $\alpha = 360^\circ/n$. Проведем в треугольнике AOB высоту OH к основанию AB. Так как треугольник равнобедренный, высота OH является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $AH = a_n/2$ и $\angle AOH = \alpha/2 = (360^\circ/n)/2 = 180^\circ/n$. Из прямоугольного треугольника AOH имеем: $\sin(\angle AOH) = AH / OA$, что дает $\sin(180^\circ/n) = (a_n/2) / R$. Отсюда выразим сторону $a_n$:$a_n = 2R \sin(180^\circ/n)$Используя эту формулу, найдем значения $n$ для каждого из трех случаев.

1) больше радиуса описанной окружности;
Мы ищем значения $n$, при которых сторона многоугольника $a_n$ больше радиуса $R$, то есть $a_n > R$. Подставим выведенную формулу для $a_n$:$2R \sin(180^\circ/n) > R$Поскольку $R > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $R$:$2 \sin(180^\circ/n) > 1$$\sin(180^\circ/n) > 1/2$Так как $n$ — это число сторон многоугольника, $n$ является целым числом и $n \ge 3$. Это означает, что угол $180^\circ/n$ находится в интервале $(0, 60^\circ]$. В этом интервале функция синуса является монотонно возрастающей. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = 1/2$. Следовательно, неравенство $\sin(180^\circ/n) > \sin(30^\circ)$ будет выполняться, когда аргумент синуса будет больше $30^\circ$:$180^\circ/n > 30^\circ$$180 > 30n$$n < 6$Учитывая, что $n \ge 3$, целыми значениями $n$, удовлетворяющими условию $3 \le n < 6$, являются $n=3, 4, 5$.
Ответ: при $n = 3, 4, 5$.

2) равна радиусу описанной окружности;
Мы ищем значения $n$, при которых сторона многоугольника $a_n$ равна радиусу $R$, то есть $a_n = R$:$2R \sin(180^\circ/n) = R$$2 \sin(180^\circ/n) = 1$$\sin(180^\circ/n) = 1/2$Так как угол $180^\circ/n$ находится в интервале $(0, 60^\circ]$, единственное решение этого уравнения достигается, когда аргумент синуса равен $30^\circ$:$180^\circ/n = 30^\circ$$n = 180 / 30 = 6$Это соответствует правильному шестиугольнику, у которого, как известно, сторона равна радиусу описанной окружности.
Ответ: при $n = 6$.

3) меньше радиуса описанной окружности?
Мы ищем значения $n$, при которых сторона многоугольника $a_n$ меньше радиуса $R$, то есть $a_n < R$:$2R \sin(180^\circ/n) < R$$2 \sin(180^\circ/n) < 1$$\sin(180^\circ/n) < 1/2$Учитывая, что функция синуса возрастает на интервале $(0, 90^\circ)$, неравенство $\sin(180^\circ/n) < \sin(30^\circ)$ будет выполняться, когда:$180^\circ/n < 30^\circ$$180 < 30n$$n > 6$Следовательно, сторона правильного $n$-угольника меньше радиуса описанной окружности для любого целого числа $n$, большего 6.
Ответ: при $n > 6$ (то есть для $n = 7, 8, 9, \ldots$).

4.106. Найдите угол правильного $n$-угольника, если:

1) $n=3$;

2) $n=4$;

3) $n=5$;

4) $n=6$;

5) $n=10$;

6) $n=18$.

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника используется формула, которая следует из того, что сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника равна $180^\circ \cdot (n-2)$. Так как в правильном n-угольнике все $n$ углов равны между собой, то величина одного угла $\alpha$ вычисляется делением общей суммы на количество углов.

Формула для вычисления угла правильного n-угольника:

$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (n-2)}{n}$

Применим эту формулу для каждого из заданных значений $n$.

1) n=3;

Для правильного треугольника (равностороннего) подставляем $n=3$ в формулу:

$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (3-2)}{3} = \frac{180^\circ \cdot 1}{3} = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

2) n=4;

Для правильного четырехугольника (квадрата) подставляем $n=4$:

$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (4-2)}{4} = \frac{180^\circ \cdot 2}{4} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

3) n=5;

Для правильного пятиугольника подставляем $n=5$:

$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (5-2)}{5} = \frac{180^\circ \cdot 3}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$.

Ответ: $108^\circ$

4) n=6;

Для правильного шестиугольника подставляем $n=6$:

$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (6-2)}{6} = \frac{180^\circ \cdot 4}{6} = 30^\circ \cdot 4 = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

5) n=10;

Для правильного десятиугольника подставляем $n=10$:

$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (10-2)}{10} = \frac{180^\circ \cdot 8}{10} = 18^\circ \cdot 8 = 144^\circ$.

Ответ: $144^\circ$

6) n=18;

Для правильного восемнадцатиугольника подставляем $n=18$:

$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (18-2)}{18} = \frac{180^\circ \cdot 16}{18} = 10^\circ \cdot 16 = 160^\circ$.

Ответ: $160^\circ$

4.107. Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через середину этого радиуса, является стороной правильного треугольника.

Рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом R. Пусть OC — радиус этой окружности, а AB — хорда, которая по условию перпендикулярна радиусу OC и проходит через его середину, точку M.

Наша цель — доказать, что длина хорды AB равна стороне правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в эту окружность.

Исходя из условий задачи, мы имеем следующие данные:

1. Отрезки OA, OB и OC являются радиусами окружности, следовательно, $OA = OB = OC = R$.

2. Хорда AB перпендикулярна радиусу OC, то есть $AB \perp OC$.

3. Точка M — середина радиуса OC, значит, $OM = \frac{1}{2} OC = \frac{R}{2}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMA$. Так как $AB \perp OC$, то угол $\angle OMA$ является прямым ($\angle OMA = 90^\circ$). Следовательно, треугольник $\triangle OMA$ является прямоугольным.

В этом треугольнике нам известны гипотенуза $OA = R$ и катет $OM = \frac{R}{2}$. Применим теорему Пифагора для нахождения второго катета AM:

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = \left(\frac{R}{2}\right)^2 + AM^2$

$R^2 = \frac{R^2}{4} + AM^2$

Выразим $AM^2$:

$AM^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{4R^2 - R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

Отсюда находим длину отрезка AM:

$AM = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$

По свойству окружности, радиус, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Поскольку $OC \perp AB$, точка M является серединой хорды AB. Таким образом, $AB = 2 \cdot AM$.

Теперь мы можем найти полную длину хорды AB:

$AB = 2 \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Известно, что сторона $a_3$ правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, вычисляется по формуле $a_3 = R\sqrt{3}$.

Так как мы получили, что длина хорды AB в точности равна $R\sqrt{3}$, это доказывает, что данная хорда является стороной правильного треугольника, вписанного в окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина хорды равна $R\sqrt{3}$, что соответствует формуле для стороны правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R. Утверждение доказано.

4.108. Докажите, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, в два раза меньше радиуса окружности, описанной около него.

Для доказательства утверждения рассмотрим правильный (равносторонний) треугольник. Пусть $R$ — это радиус описанной около него окружности, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

Ключевым свойством правильного треугольника является то, что центры его вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта общая центральная точка, обозначим её $O$, также является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника. Точка пересечения медиан называется центроидом.

Проведём в треугольнике $ABC$ медиану $AM$ из вершины $A$ к стороне $BC$. В равностороннем треугольнике медиана одновременно является высотой, поэтому $AM$ перпендикулярна $BC$.

Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин. Таким образом, $R = AO$.

Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из сторон. Так как $AM \perp BC$, это расстояние равно длине отрезка $OM$. Таким образом, $r = OM$.

Воспользуемся известным свойством центроида треугольника: он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Применительно к медиане $AM$, это означает, что $AO : OM = 2 : 1$.

Заменяя в этом отношении отрезки $AO$ и $OM$ на соответствующие им радиусы $R$ и $r$, мы получаем:

$R : r = 2 : 1$

Из этой пропорции следует, что $R = 2r$, или, что эквивалентно, $r = \frac{1}{2}R$.

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, в два раза меньше радиуса окружности, описанной около него.

Ответ: Доказательство основано на том, что в правильном треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадает с центроидом (точкой пересечения медиан). Центроид делит медиану, которая также является и высотой, в отношении 2:1, считая от вершины. Больший отрезок является радиусом описанной окружности ($R$), а меньший — радиусом вписанной ($r$). Следовательно, их отношение $R:r=2:1$, что и требовалось доказать.

4.109. На доске надо просверлить пять отверстий на равных между собой расстояниях и на одном и том же расстоянии от указанного центра. Как это можно сделать?

Для решения этой задачи необходимо правильно истолковать условия. Требование, чтобы пять отверстий находились на одном и том же расстоянии от указанного центра, означает, что их центры должны лежать на одной окружности. Пусть ее центр — это точка $O$, а радиус — $R$.

Второе условие — чтобы все отверстия находились на равных между собой расстояниях — при буквальном прочтении (расстояние между любой парой отверстий одинаково) невыполнимо на плоскости. На плоскости (например, на поверхности доски) невозможно расположить пять точек так, чтобы все попарные расстояния между ними были равны. Максимальное число таких точек — три (вершины равностороннего треугольника).

Поэтому наиболее разумной и общепринятой трактовкой является расположение отверстий в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$ с центром $O$. Такое расположение обеспечивает максимальную симметрию: расстояния между соседними отверстиями равны стороне пятиугольника, а расстояния между несоседними — его диагонали. Таким образом, задача сводится к построению правильного пятиугольника.

Для разметки центров отверстий на доске можно использовать циркуль и линейку (или их столярные аналоги, такие как разметочный циркуль и рейсшина).

Вот пошаговый метод построения:

1. Отметьте на доске центральную точку $O$. Из этой точки с помощью циркуля проведите окружность заданного радиуса $R$. Все пять отверстий будут располагаться на этой окружности.

2. Проведите через центр $O$ два взаимно перпендикулярных диаметра. Обозначим одну из точек пересечения с окружностью, например, верхнюю, как $V_1$. Она будет центром первого отверстия.

3. Найдите середину $M$ одного из радиусов, перпендикулярных диаметру, на котором лежит точка $V_1$. Например, если $V_1$ находится на вертикальном диаметре, возьмите середину левого или правого горизонтального радиуса.

4. Установите острие циркуля в точку $M$, а грифель — в точку $V_1$. Таким образом, раствор циркуля будет равен длине отрезка $MV_1$.

5. Не меняя раствора циркуля, проведите дугу с центром в точке $M$ так, чтобы она пересекла горизонтальный диаметр в точке $N$.

6. Длина отрезка $V_1N$ теперь равна длине стороны правильного пятиугольника, вписанного в исходную окружность. Установите раствор циркуля равным этому расстоянию.

7. Начиная от точки $V_1$, последовательно отложите это расстояние по окружности, отмечая новые точки. Вы получите еще четыре точки, которые вместе с $V_1$ образуют вершины правильного пятиугольника.

Ниже представлена схема, иллюстрирующая данный метод построения:

После того как пять точек — вершины правильного пятиугольника — будут размечены, в них можно просверлить отверстия. В результате все отверстия будут расположены на равном расстоянии от центра, а также на равных расстояниях друг от друга (имея в виду расстояния между соседними отверстиями).

Ответ: Отверстия следует расположить в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в окружность с центром в указанной точке и радиусом, равным заданному расстоянию. Разметить такой пятиугольник можно с помощью циркуля и линейки, как описано и показано на схеме выше.

4.110. Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Периметр шестиугольника равен 48 см. Найдите периметр квадрата.

Пусть $r$ — это радиус окружности, вокруг которой описаны многоугольники.

1. Найдем радиус окружности, исходя из данных о шестиугольнике.
Периметр правильного шестиугольника ($P_{шест}$) равен 48 см. Так как у него 6 равных сторон, длина одной стороны ($a_{шест}$) составляет:
$a_{шест} = \frac{P_{шест}}{6} = \frac{48}{6} = 8$ см.
Для правильного многоугольника, описанного около окружности, радиус этой окружности является его апофемой. Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности связан с его стороной следующей формулой:
$r = \frac{a_{шест} \cdot \sqrt{3}}{2}$
Подставим известное значение стороны:
$r = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдем периметр квадрата.
Квадрат также описан около этой же окружности с радиусом $r = 4\sqrt{3}$ см. Сторона квадрата ($a_{кв}$), описанного около окружности, равна ее диаметру ($d = 2r$).
$a_{кв} = 2r = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.
Периметр квадрата ($P_{кв}$) равен сумме длин четырех его сторон:
$P_{кв} = 4 \cdot a_{кв} = 4 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см.

Ответ: $32\sqrt{3}$ см.

4.111. Сторона вписанного в окружность треугольника равна $a$. Найдите сторону вписанного в эту окружность квадрата.

Поскольку в условии задачи не указан тип вписанного треугольника, для однозначности решения будем считать, что это правильный (равносторонний) треугольник. Для произвольного треугольника задача не имеет единственного решения, так как радиус описанной окружности зависит не только от длины одной стороны, но и от противолежащего ей угла.

Пусть $a$ — сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, а $R$ — радиус этой окружности. Связь между стороной правильного вписанного n-угольника $a_n$ и радиусом описанной окружности $R$ дается общей формулой $a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$.

Для правильного треугольника ($n=3$):
$a = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.
Из этой формулы выразим радиус окружности $R$ через сторону треугольника $a$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем сторону $b$ квадрата, вписанного в ту же окружность радиуса $R$. Для квадрата ($n=4$):
$b = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \sin(45^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$.

Для наглядности представим эти фигуры на рисунке, где синим цветом обозначен треугольник со стороной $a$, а красным — квадрат со стороной $b$. Обе фигуры вписаны в одну и ту же окружность радиуса $R$ (показан зеленой пунктирной линией).

Теперь подставим выражение для радиуса $R$, которое мы нашли из данных о треугольнике, в формулу для стороны квадрата $b$:
$b = R\sqrt{2} = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \cdot \sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Чтобы упростить выражение и избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$b = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: Сторона вписанного в эту окружность квадрата равна $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.