Номер 4.109, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.109. На доске надо просверлить пять отверстий на равных между собой расстояниях и на одном и том же расстоянии от указанного центра. Как это можно сделать?

Для решения этой задачи необходимо правильно истолковать условия. Требование, чтобы пять отверстий находились на одном и том же расстоянии от указанного центра, означает, что их центры должны лежать на одной окружности. Пусть ее центр — это точка $O$, а радиус — $R$.

Второе условие — чтобы все отверстия находились на равных между собой расстояниях — при буквальном прочтении (расстояние между любой парой отверстий одинаково) невыполнимо на плоскости. На плоскости (например, на поверхности доски) невозможно расположить пять точек так, чтобы все попарные расстояния между ними были равны. Максимальное число таких точек — три (вершины равностороннего треугольника).

Поэтому наиболее разумной и общепринятой трактовкой является расположение отверстий в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$ с центром $O$. Такое расположение обеспечивает максимальную симметрию: расстояния между соседними отверстиями равны стороне пятиугольника, а расстояния между несоседними — его диагонали. Таким образом, задача сводится к построению правильного пятиугольника.

Для разметки центров отверстий на доске можно использовать циркуль и линейку (или их столярные аналоги, такие как разметочный циркуль и рейсшина).

Вот пошаговый метод построения:

1. Отметьте на доске центральную точку $O$. Из этой точки с помощью циркуля проведите окружность заданного радиуса $R$. Все пять отверстий будут располагаться на этой окружности.

2. Проведите через центр $O$ два взаимно перпендикулярных диаметра. Обозначим одну из точек пересечения с окружностью, например, верхнюю, как $V_1$. Она будет центром первого отверстия.

3. Найдите середину $M$ одного из радиусов, перпендикулярных диаметру, на котором лежит точка $V_1$. Например, если $V_1$ находится на вертикальном диаметре, возьмите середину левого или правого горизонтального радиуса.

4. Установите острие циркуля в точку $M$, а грифель — в точку $V_1$. Таким образом, раствор циркуля будет равен длине отрезка $MV_1$.

5. Не меняя раствора циркуля, проведите дугу с центром в точке $M$ так, чтобы она пересекла горизонтальный диаметр в точке $N$.

6. Длина отрезка $V_1N$ теперь равна длине стороны правильного пятиугольника, вписанного в исходную окружность. Установите раствор циркуля равным этому расстоянию.

7. Начиная от точки $V_1$, последовательно отложите это расстояние по окружности, отмечая новые точки. Вы получите еще четыре точки, которые вместе с $V_1$ образуют вершины правильного пятиугольника.

Ниже представлена схема, иллюстрирующая данный метод построения:

После того как пять точек — вершины правильного пятиугольника — будут размечены, в них можно просверлить отверстия. В результате все отверстия будут расположены на равном расстоянии от центра, а также на равных расстояниях друг от друга (имея в виду расстояния между соседними отверстиями).

Ответ: Отверстия следует расположить в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в окружность с центром в указанной точке и радиусом, равным заданному расстоянию. Разметить такой пятиугольник можно с помощью циркуля и линейки, как описано и показано на схеме выше.