Номер 4.113, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.113. Найдите отношение периметров описанных около окружности и вписанных в окружность правильных n-угольников. Решите задачу при $n = 3, 4 \text{ и } 6$.

Для решения задачи найдем общую формулу для отношения периметров правильного n-угольника, описанного около окружности ($P_{опис}$), и правильного n-угольника, вписанного в ту же окружность ($P_{впис}$). Пусть радиус данной окружности равен $R$.

Сначала найдем периметр вписанного в окружность правильного n-угольника ($P_{впис}$). Сторона такого n-угольника, $a_{впис}$, может быть найдена через радиус описанной окружности $R$ и количество сторон $n$. Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам многоугольника, и стороной многоугольника. Этот треугольник равнобедренный, с боковыми сторонами $R$ и углом между ними $\frac{2\pi}{n}$. Высота, опущенная из центра окружности на сторону многоугольника, делит этот угол и сторону пополам. В получившемся прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $R$, а угол, противолежащий катету, равному половине стороны ($\frac{a_{впис}}{2}$), равен $\frac{\pi}{n}$.

Отсюда, $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a_{впис}/2}{R}$, что дает $a_{впис} = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Периметр вписанного n-угольника: $P_{впис} = n \cdot a_{впис} = 2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Теперь найдем периметр описанного около окружности правильного n-угольника ($P_{опис}$). Для этого многоугольника данная окружность является вписанной, и ее радиус $R$ является апофемой многоугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $R$, отрезком, соединяющим центр окружности с вершиной многоугольника, и половиной стороны многоугольника ($\frac{a_{опис}}{2}$). Угол при центре в этом треугольнике равен $\frac{\pi}{n}$.

В этом треугольнике $\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a_{опис}/2}{R}$, что дает $a_{опис} = 2R \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Периметр описанного n-угольника: $P_{опис} = n \cdot a_{опис} = 2nR \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Следующий рисунок иллюстрирует связь между радиусом $R$ и половинами сторон вписанного и описанного многоугольников.

Теперь найдем искомое отношение периметров:

$\frac{P_{опис}}{P_{впис}} = \frac{2nR \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}{2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}$

Используя тождество $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, получаем:

$\frac{P_{опис}}{P_{впис}} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)/\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}$

Теперь применим эту общую формулу для заданных значений $n$.

при n = 3

Для правильного треугольника ($n=3$) отношение периметров равно:

$\frac{P_{опис}}{P_{впис}} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{1}{1/2} = 2$

Ответ: 2.

при n = 4

Для квадрата ($n=4$) отношение периметров равно:

$\frac{P_{опис}}{P_{впис}} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$.

при n = 6

Для правильного шестиугольника ($n=6$) отношение периметров равно:

$\frac{P_{опис}}{P_{впис}} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.