Номер 4.118, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.118. Из бревна, диаметр поперечного сечения которого равен 40 см, вырезали 4 одинаковые балки с квадратными поперечными сечениями. Какой может быть наибольшая длина стороны поперечного сечения балки?

Поперечное сечение бревна представляет собой круг с диаметром $D = 40$ см. Следовательно, радиус этого круга равен $R = D/2 = 40/2 = 20$ см.

Из этого бревна необходимо вырезать 4 одинаковые балки с квадратным поперечным сечением. Обозначим длину стороны такого квадрата как $a$. Наша задача — найти максимальное возможное значение $a$.

Чтобы maximizeровать площадь (а значит, и сторону) каждого квадратного сечения, их нужно расположить наиболее компактно внутри круглого сечения бревна. Оптимальным будет симметричное расположение четырех квадратов в виде сетки 2x2, центр которой совпадает с центром круга. При таком расположении четыре квадрата образуют один большой квадрат со стороной $2a$.

Ниже представлена схема такого расположения.

Для того чтобы все четыре балки поместились в бревне, вершины большого квадрата со стороной $2a$ должны лежать внутри или на окружности поперечного сечения бревна. Чтобы сторона $a$ была наибольшей, эти вершины должны лежать точно на окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, проведенным в одну из вершин большого квадрата, и двумя отрезками длиной $a$, которые являются катетами этого треугольника (как показано на схеме синим цветом). Гипотенузой этого треугольника является радиус $R$ (показан красным).

Согласно теореме Пифагора:

$a^2 + a^2 = R^2$

Упростим выражение:

$2a^2 = R^2$

Подставим известное значение радиуса $R = 20$ см:

$2a^2 = 20^2$

$2a^2 = 400$

Теперь найдем $a^2$:

$a^2 = \frac{400}{2} = 200$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $a$:

$a = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$

Таким образом, наибольшая возможная длина стороны поперечного сечения балки составляет $10\sqrt{2}$ см.

Ответ: $10\sqrt{2}$ см.