Номер 4.122, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.122. В окружность радиусом $R$ вписан правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$. Найдите площадь треугольника $A_1A_2A_3$.

Пусть $O$ - центр окружности, в которую вписан правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$. Радиус этой окружности равен $R$. Вершины треугольника $A_1, A_2, A_3$ являются также вершинами двенадцатиугольника и лежат на окружности. Так как двенадцатиугольник правильный, все его стороны равны, и все центральные углы, опирающиеся на его стороны, также равны. Центральный угол, стягиваемый каждой стороной, равен $ \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ $. Таким образом, $ \angle A_1OA_2 = \angle A_2OA_3 = 30^\circ $.

Площадь искомого треугольника $ \triangle A_1A_2A_3 $ можно найти, используя площади треугольников с общей вершиной в центре окружности $O$. Рассмотрим четырехугольник $OA_1A_2A_3$. Его площадь можно представить как сумму площадей треугольников $ \triangle OA_1A_2 $ и $ \triangle OA_2A_3 $. С другой стороны, она же равна сумме площадей $ \triangle OA_1A_3 $ и $ \triangle A_1A_2A_3 $. Из этого равенства можно выразить площадь искомого треугольника:$ S_{\triangle A_1A_2A_3} = S_{\triangle OA_1A_2} + S_{\triangle OA_2A_3} - S_{\triangle OA_1A_3} $.Найдем площади этих трех треугольников, используя формулу площади треугольника $ S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma $, где $a, b$ - две стороны, а $\gamma$ - угол между ними.

Площадь $ \triangle OA_1A_2 $
Этот треугольник является равнобедренным, так как $OA_1 = OA_2 = R$. Угол между этими сторонами $ \angle A_1OA_2 = 30^\circ $. Его площадь равна:$ S_{\triangle OA_1A_2} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{R^2}{4} $.

Площадь $ \triangle OA_2A_3 $
Этот треугольник конгруэнтен треугольнику $ \triangle OA_1A_2 $, так как $OA_2 = OA_3 = R$ и $ \angle A_2OA_3 = 30^\circ $. Следовательно, его площадь также равна:$ S_{\triangle OA_2A_3} = \frac{R^2}{4} $.

Площадь $ \triangle OA_1A_3 $
Этот треугольник также равнобедренный с боковыми сторонами $OA_1 = OA_3 = R$. Угол между ними $ \angle A_1OA_3 = \angle A_1OA_2 + \angle A_2OA_3 = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ $. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Его площадь равна:$ S_{\triangle OA_1A_3} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4} $.

Теперь, зная площади всех трех треугольников, мы можем вычислить площадь $ \triangle A_1A_2A_3 $:$ S_{\triangle A_1A_2A_3} = \frac{R^2}{4} + \frac{R^2}{4} - \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2R^2 - R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{R^2(2 - \sqrt{3})}{4} $.

Ответ: $ \frac{R^2(2 - \sqrt{3})}{4} $.