Номер 4.119, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.119. Докажите, что в правильном пятиугольнике:

1) любые две диагонали равны;

2) диагонали параллельны одной из его сторон.

Пусть дан правильный пятиугольник ABCDE.

В правильном пятиугольнике все стороны равны и все внутренние углы равны. Сумма внутренних углов n-угольника вычисляется по формуле $(n-2) \cdot 180^\circ$. Для пятиугольника ($n=5$) сумма углов составляет $(5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.
Следовательно, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен $540^\circ / 5 = 108^\circ$.
Таким образом, $AB = BC = CD = DE = EA$ и $\angle ABC = \angle BCD = \angle CDE = \angle DEA = \angle EAB = 108^\circ$.

1) любые две диагонали равны

Чтобы доказать, что все диагонали правильного пятиугольника равны, достаточно доказать равенство любых двух пересекающихся диагоналей, например, AC и BD. Равенство остальных диагоналей будет следовать из симметрии фигуры.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BCD$.
У них:
1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ ($AB = CD$), так как это стороны правильного пятиугольника.
2. Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников.
3. Угол $\angle ABC$ равен углу $\angle BCD$ ($\angle ABC = \angle BCD = 108^\circ$), так как это углы правильного пятиугольника.

Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BCD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В $\triangle ABC$ сторона AC лежит напротив угла $\angle ABC$. В $\triangle BCD$ сторона BD лежит напротив угла $\angle BCD$.
Поскольку треугольники и углы равны, то и противолежащие им стороны равны: $AC = BD$.
Аналогично, рассматривая другие пары треугольников (например, $\triangle BCD$ и $\triangle CDE$, чтобы доказать $BD = CE$), можно показать, что все пять диагоналей правильного пятиугольника равны между собой: $AC = BD = CE = DA = BE$.

Ответ: Доказано, что любые две диагонали в правильном пятиугольнике равны.

2) диагонали параллельны одной из его сторон

Докажем, что каждая диагональ параллельна одной из сторон пятиугольника. В качестве примера докажем, что диагональ AC параллельна стороне ED ($AC \parallel ED$). Для этого воспользуемся признаком параллельности прямых: если сумма внутренних односторонних углов при секущей равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Рассмотрим прямые AC и ED и секущую CD. Нам нужно найти сумму углов $\angle ACD$ и $\angle CDE$.
Угол $\angle CDE$ является внутренним углом правильного пятиугольника, поэтому $\angle CDE = 108^\circ$.

Чтобы найти угол $\angle ACD$, сначала определим угол $\angle BCA$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB = BC$ (стороны правильного пятиугольника), то $\triangle ABC$ является равнобедренным. Угол при вершине $\angle ABC = 108^\circ$. Углы при основании равны:
$\angle BCA = \angle BAC = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Весь угол при вершине C, $\angle BCD$, равен $108^\circ$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle BCA$ и $\angle ACD$.
Теперь можем найти $\angle ACD$:
$\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$.

Вычислим сумму внутренних односторонних углов при секущей CD:
$\angle ACD + \angle CDE = 72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$.

Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые AC и ED параллельны. В силу симметрии правильного пятиугольника, это свойство справедливо для любой диагонали: каждая диагональ параллельна стороне, с которой она не имеет общих вершин (например, $BD \parallel AE$, $CE \parallel AB$ и т.д.).

Ответ: Доказано, что каждая диагональ в правильном пятиугольнике параллельна одной из его сторон.