Номер 4.114, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.114. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного десятиугольника, вписанных в окружность радиусом $R$.

Для нахождения стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность радиусом $R$, воспользуемся общей формулой. Если соединить вершины многоугольника с центром окружности, образуются $n$ равнобедренных треугольников с боковыми сторонами, равными $R$, и углом при вершине (в центре окружности), равным $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$. Сторону многоугольника $a_n$ можно найти, рассмотрев один из таких треугольников. Проведя в нем высоту из центра окружности к стороне $a_n$, мы получим два прямоугольных треугольника. Из них следует формула:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Сторона правильного пятиугольника

Для правильного пятиугольника число сторон $n=5$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем выражение для стороны пятиугольника $a_5$:

$a_5 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{5}\right) = 2R \sin(36^\circ)$

Чтобы найти точное значение $\sin(36^\circ)$, рассмотрим тригонометрическое тождество $\sin(2x) = \cos(3x)$, которое выполняется при $x=18^\circ$ (так как $2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$ и $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$, а $\sin(36^\circ) = \cos(90^\circ - 36^\circ) = \cos(54^\circ)$).Распишем обе части, используя формулы двойного и тройного угла:

$2\sin(x)\cos(x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$

Поскольку $x=18^\circ$, $\cos(x) \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos(x)$:

$2\sin(x) = 4\cos^2(x) - 3$

Заменим $\cos^2(x)$ на $1 - \sin^2(x)$:

$2\sin(x) = 4(1 - \sin^2(x)) - 3$

$2\sin(x) = 1 - 4\sin^2(x)$

Пусть $y = \sin(18^\circ)$. Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$4y^2 + 2y - 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Так как угол $18^\circ$ находится в первой четверти, его синус является положительной величиной, поэтому выбираем корень со знаком "плюс":

$\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Теперь мы можем найти $\sin(36^\circ)$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$, чтобы найти $\cos(36^\circ)$:

$\cos(36^\circ) = 1 - 2\sin^2(18^\circ) = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = 1 - 2\frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} = \frac{8 - 6 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$

Наконец, находим $\sin(36^\circ)$ из основного тригонометрического тождества:

$\sin(36^\circ) = \sqrt{1 - \cos^2(36^\circ)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 6 - 2\sqrt{5}}{16}} = \sqrt{\frac{10 - 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$

Подставим найденное значение в формулу для стороны пятиугольника:

$a_5 = 2R \cdot \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}$

Ответ: $a_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}$

Сторона правильного десятиугольника

Для правильного десятиугольника число сторон $n=10$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем выражение для стороны десятиугольника $a_{10}$:

$a_{10} = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{10}\right) = 2R \sin(18^\circ)$

Значение $\sin(18^\circ)$ мы уже нашли при решении предыдущей части задачи:

$\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Подставим это значение в формулу для стороны десятиугольника:

$a_{10} = 2R \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$

Ответ: $a_{10} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$