Номер 4.107, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.107. Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через середину этого радиуса, является стороной правильного треугольника.

Рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом R. Пусть OC — радиус этой окружности, а AB — хорда, которая по условию перпендикулярна радиусу OC и проходит через его середину, точку M.

Наша цель — доказать, что длина хорды AB равна стороне правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в эту окружность.

Исходя из условий задачи, мы имеем следующие данные:

1. Отрезки OA, OB и OC являются радиусами окружности, следовательно, $OA = OB = OC = R$.

2. Хорда AB перпендикулярна радиусу OC, то есть $AB \perp OC$.

3. Точка M — середина радиуса OC, значит, $OM = \frac{1}{2} OC = \frac{R}{2}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMA$. Так как $AB \perp OC$, то угол $\angle OMA$ является прямым ($\angle OMA = 90^\circ$). Следовательно, треугольник $\triangle OMA$ является прямоугольным.

В этом треугольнике нам известны гипотенуза $OA = R$ и катет $OM = \frac{R}{2}$. Применим теорему Пифагора для нахождения второго катета AM:

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = \left(\frac{R}{2}\right)^2 + AM^2$

$R^2 = \frac{R^2}{4} + AM^2$

Выразим $AM^2$:

$AM^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{4R^2 - R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

Отсюда находим длину отрезка AM:

$AM = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$

По свойству окружности, радиус, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Поскольку $OC \perp AB$, точка M является серединой хорды AB. Таким образом, $AB = 2 \cdot AM$.

Теперь мы можем найти полную длину хорды AB:

$AB = 2 \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Известно, что сторона $a_3$ правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, вычисляется по формуле $a_3 = R\sqrt{3}$.

Так как мы получили, что длина хорды AB в точности равна $R\sqrt{3}$, это доказывает, что данная хорда является стороной правильного треугольника, вписанного в окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина хорды равна $R\sqrt{3}$, что соответствует формуле для стороны правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R. Утверждение доказано.