Номер 4.100, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.100. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен:

1) $135^\circ$;

2) $150^\circ$?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой, связывающей величину внутреннего угла правильного многоугольника и количество его сторон. Существует два основных подхода: через формулу внутреннего угла или через формулу внешнего угла. Второй способ, как правило, приводит к более простым вычислениям.

Внешний угол правильного многоугольника ($\beta$) и его внутренний угол ($\alpha$) в сумме дают $180^\circ$, так как они являются смежными. То есть, $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного многоугольника с $n$ сторонами все внешние углы равны, поэтому количество сторон можно найти по формуле: $n = \frac{360^\circ}{\beta}$.

Теперь решим задачу для каждого случая.

1)

Дан внутренний угол правильного многоугольника $\alpha = 135^\circ$.

1. Найдем величину внешнего угла $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

2. Найдем количество сторон $n$, разделив $360^\circ$ на величину внешнего угла:

$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{45^\circ} = 8$

Таким образом, многоугольник имеет 8 сторон (это правильный восьмиугольник).

Ответ: 8 сторон.

2)

Дан внутренний угол правильного многоугольника $\alpha = 150^\circ$.

1. Найдем величину внешнего угла $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

2. Найдем количество сторон $n$:

$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$

Таким образом, многоугольник имеет 12 сторон (это правильный двенадцатиугольник).

Ответ: 12 сторон.