Номер 4.105, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.105. При каком значении $n$ сторона правильного $n$-угольника:

1) больше радиуса описанной окружности;

2) равна радиусу описанной окружности;

3) меньше радиуса описанной окружности?

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей сторону правильного $n$-угольника $a_n$ с радиусом $R$ описанной около него окружности. Рассмотрим правильный $n$-угольник, вписанный в окружность. Соединим центр окружности O с двумя соседними вершинами A и B. Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором $OA = OB = R$, а сторона $AB = a_n$. Угол при вершине O, $\angle AOB$, является центральным углом многоугольника и равен $\alpha = 360^\circ/n$. Проведем в треугольнике AOB высоту OH к основанию AB. Так как треугольник равнобедренный, высота OH является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $AH = a_n/2$ и $\angle AOH = \alpha/2 = (360^\circ/n)/2 = 180^\circ/n$. Из прямоугольного треугольника AOH имеем: $\sin(\angle AOH) = AH / OA$, что дает $\sin(180^\circ/n) = (a_n/2) / R$. Отсюда выразим сторону $a_n$:$a_n = 2R \sin(180^\circ/n)$Используя эту формулу, найдем значения $n$ для каждого из трех случаев.

1) больше радиуса описанной окружности;
Мы ищем значения $n$, при которых сторона многоугольника $a_n$ больше радиуса $R$, то есть $a_n > R$. Подставим выведенную формулу для $a_n$:$2R \sin(180^\circ/n) > R$Поскольку $R > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $R$:$2 \sin(180^\circ/n) > 1$$\sin(180^\circ/n) > 1/2$Так как $n$ — это число сторон многоугольника, $n$ является целым числом и $n \ge 3$. Это означает, что угол $180^\circ/n$ находится в интервале $(0, 60^\circ]$. В этом интервале функция синуса является монотонно возрастающей. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = 1/2$. Следовательно, неравенство $\sin(180^\circ/n) > \sin(30^\circ)$ будет выполняться, когда аргумент синуса будет больше $30^\circ$:$180^\circ/n > 30^\circ$$180 > 30n$$n < 6$Учитывая, что $n \ge 3$, целыми значениями $n$, удовлетворяющими условию $3 \le n < 6$, являются $n=3, 4, 5$.
Ответ: при $n = 3, 4, 5$.

2) равна радиусу описанной окружности;
Мы ищем значения $n$, при которых сторона многоугольника $a_n$ равна радиусу $R$, то есть $a_n = R$:$2R \sin(180^\circ/n) = R$$2 \sin(180^\circ/n) = 1$$\sin(180^\circ/n) = 1/2$Так как угол $180^\circ/n$ находится в интервале $(0, 60^\circ]$, единственное решение этого уравнения достигается, когда аргумент синуса равен $30^\circ$:$180^\circ/n = 30^\circ$$n = 180 / 30 = 6$Это соответствует правильному шестиугольнику, у которого, как известно, сторона равна радиусу описанной окружности.
Ответ: при $n = 6$.

3) меньше радиуса описанной окружности?
Мы ищем значения $n$, при которых сторона многоугольника $a_n$ меньше радиуса $R$, то есть $a_n < R$:$2R \sin(180^\circ/n) < R$$2 \sin(180^\circ/n) < 1$$\sin(180^\circ/n) < 1/2$Учитывая, что функция синуса возрастает на интервале $(0, 90^\circ)$, неравенство $\sin(180^\circ/n) < \sin(30^\circ)$ будет выполняться, когда:$180^\circ/n < 30^\circ$$180 < 30n$$n > 6$Следовательно, сторона правильного $n$-угольника меньше радиуса описанной окружности для любого целого числа $n$, большего 6.
Ответ: при $n > 6$ (то есть для $n = 7, 8, 9, \ldots$).