Номер 4.112, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.112. Докажите, что если радиус окружности равен $R$, то сторона вписанного в нее:

1) правильного восьмиугольника равна $R\sqrt{2-\sqrt{2}}$;

2) правильного двенадцатиугольника равна $R\sqrt{2-\sqrt{3}}$.

1) Доказательство для правильного восьмиугольника.

Рассмотрим правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Пусть $O$ — центр окружности, а $A$ и $B$ — две соседние вершины восьмиугольника. Тогда $OA = OB = R$. Сторона восьмиугольника, которую обозначим $a₈$, равна длине отрезка $AB$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный.

Центральный угол, стягиваемый стороной правильного восьмиугольника, равен $\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.

Для нахождения длины стороны $a_8$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $AOB$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

$a_8^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(45^\circ)$

Подставим значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$a_8^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a_8^2 = 2R^2 - R^2\sqrt{2}$

$a_8^2 = R^2(2 - \sqrt{2})$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$a_8 = \sqrt{R^2(2 - \sqrt{2})} = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, действительно равна $R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$.

2) Доказательство для правильного двенадцатиугольника.

Рассмотрим правильный двенадцатиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Пусть $O$ — центр окружности, а $A$ и $B$ — две соседние вершины двенадцатиугольника. Тогда $OA = OB = R$. Сторона двенадцатиугольника, которую обозначим $a₁₂$, равна длине отрезка $AB$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный.

Центральный угол, стягиваемый стороной правильного двенадцатиугольника, равен $\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$.

Для нахождения длины стороны $a_{12}$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $AOB$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

$a_{12}^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(30^\circ)$

Подставим значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$a_{12}^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a_{12}^2 = 2R^2 - R^2\sqrt{3}$

$a_{12}^2 = R^2(2 - \sqrt{3})$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$a_{12} = \sqrt{R^2(2 - \sqrt{3})} = R\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Сторона правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, действительно равна $R\sqrt{2 - \sqrt{3}}$.