Номер 4.115, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.115. Периметр правильного $n$-угольника равен $P$, а сторона $a_n$. Радиус окружности, описанной около этого $n$-угольника, равен $R$, а радиус окружности, вписанной в него, равен $r$. Найдите неизвестные элементы многоугольника по следующим данным:

1) $n=4$, $R=3\sqrt{2}$ см;

2) $n=3$, $P=24$ см;

3) $n=6$, $r=9$ см;

4) $n=3$, $r=5\sqrt{3}$ см.

1) Дано: $n=4$, $R=3\sqrt{2}$ см. Требуется найти $a_4$, $P$, $r$.
Так как $n=4$, многоугольник является правильным четырехугольником (квадратом).
Сторона правильного n-угольника $a_n$ связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
Найдем сторону квадрата $a_4$:
$a_4 = 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 6\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6$ см.
Периметр $P$ равен произведению числа сторон на длину стороны: $P = n \cdot a_n$.
$P = 4 \cdot 6 = 24$ см.
Радиус вписанной окружности $r$ связан с радиусом описанной окружности $R$ формулой $r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
$r = 3\sqrt{2} \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$ см.
Ответ: $a_4=6$ см, $P=24$ см, $r=3$ см.

2) Дано: $n=3$, $P=24$ см. Требуется найти $a_3$, $R$, $r$.
Так как $n=3$, многоугольник является правильным треугольником.
Найдем сторону треугольника $a_3$ из периметра: $a_3 = \frac{P}{n} = \frac{24}{3} = 8$ см.
Найдем радиус описанной окружности $R$ из формулы $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
$8 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ) = 2R \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.
Отсюда $R = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Найдем радиус вписанной окружности $r$ из формулы $a_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
$8 = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2r \tan(60^\circ) = 2r\sqrt{3}$.
Отсюда $r = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $a_3=8$ см, $R=\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см, $r=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

3) Дано: $n=6$, $r=9$ см. Требуется найти $a_6$, $P$, $R$.
Так как $n=6$, многоугольник является правильным шестиугольником.
Найдем сторону шестиугольника $a_6$ по формуле $a_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
$a_6 = 2 \cdot 9 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 18 \cdot \tan(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.
Найдем периметр $P$:
$P = n \cdot a_6 = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см.
Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a_6$.
$R = 6\sqrt{3}$ см.
Проверим это через формулу $r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$:
$9 = R \cos\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = R \cos(30^\circ) = R \frac{\sqrt{3}}{2} \implies R = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см. Результаты совпадают.
Ответ: $a_6=6\sqrt{3}$ см, $P=36\sqrt{3}$ см, $R=6\sqrt{3}$ см.

4) Дано: $n=3$, $r=5\sqrt{3}$ см. Требуется найти $a_3$, $P$, $R$.
Так как $n=3$, многоугольник является правильным треугольником.
Найдем сторону треугольника $a_3$ по формуле $a_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
$a_3 = 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 10\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30$ см.
Найдем периметр $P$:
$P = n \cdot a_3 = 3 \cdot 30 = 90$ см.
Найдем радиус описанной окружности $R$. Для правильного треугольника выполняется соотношение $R = 2r$.
$R = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ см.
Проверим это через формулу $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$:
$30 = 2R \sin(60^\circ) = 2R \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3} \implies R = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ см. Результаты совпадают.
Ответ: $a_3=30$ см, $P=90$ см, $R=10\sqrt{3}$ см.