Номер 4.120, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.120. Докажите, что если в пятиугольнике имеются две оси симметрии, то этот пятиугольник правильный.

4.120. Для доказательства нам необходимо показать, что если у пятиугольника есть две оси симметрии, то у него равны все стороны и все углы.

Любая ось симметрии многоугольника с нечетным числом вершин (пятиугольник имеет 5 вершин) должна проходить через одну из вершин и середину противолежащей ей стороны.

Пусть $ABCDE$ — наш пятиугольник, вершины которого перечислены в порядке обхода. Пусть $l_1$ и $l_2$ — две различные оси симметрии этого пятиугольника. Поскольку оси различны, они должны проходить через разные вершины. Предположим, без ограничения общности, что ось $l_1$ проходит через вершину $A$ и середину противолежащей стороны $CD$, а ось $l_2$ — через вершину $B$ и середину противолежащей стороны $DE$.

Обозначим через $s_1$ и $s_2$ осевые симметрии (отражения) относительно прямых $l_1$ и $l_2$ соответственно. Так как $s_1$ и $s_2$ являются симметриями пятиугольника, их композиция $r = s_2 \circ s_1$ также является симметрией пятиугольника. Поскольку оси $l_1$ и $l_2$ непараллельны (они проходят через вершины многоугольника и, следовательно, пересекаются), преобразование $r$ является поворотом.

Рассмотрим, как эти симметрии действуют на вершины пятиугольника:

1. Симметрия $s_1$ (ось $l_1$ через $A$ и середину $CD$):
- Вершина $A$ лежит на оси, поэтому $s_1(A) = A$.
- Вершины $B$ и $E$, соседние с $A$, симметричны относительно $l_1$: $s_1(B) = E$ и $s_1(E) = B$.
- Вершины $C$ и $D$, концы стороны, через середину которой проходит ось, симметричны: $s_1(C) = D$ и $s_1(D) = C$.

2. Симметрия $s_2$ (ось $l_2$ через $B$ и середину $DE$):
- Вершина $B$ лежит на оси, поэтому $s_2(B) = B$.
- Вершины $A$ и $C$, соседние с $B$, симметричны относительно $l_2$: $s_2(A) = C$ и $s_2(C) = A$.
- Вершины $E$ и $D$ симметричны относительно $l_2$ (так как $l_2$ — серединный перпендикуляр к отрезку $DE$): $s_2(E) = D$ и $s_2(D) = E$.

Теперь найдем, как действует на вершины поворот $r = s_2 \circ s_1$:
$r(A) = s_2(s_1(A)) = s_2(A) = C$
$r(B) = s_2(s_1(B)) = s_2(E) = D$
$r(C) = s_2(s_1(C)) = s_2(D) = E$
$r(D) = s_2(s_1(D)) = s_2(C) = A$
$r(E) = s_2(s_1(E)) = s_2(B) = B$

Таким образом, поворот $r$ осуществляет циклическую перестановку вершин пятиугольника: $A \to C \to E \to B \to D \to A$. Это означает, что пятиугольник имеет поворотную симметрию 5-го порядка.

Покажем, что из наличия такой симметрии следует, что пятиугольник правильный.
Равенство сторон:
Поскольку $r$ — симметрия, оно сохраняет расстояния.
- $r$ переводит отрезок $AB$ в отрезок $CD$ (так как $r(A)=C$ и $r(B)=D$), следовательно, $AB = CD$.
- $r$ переводит отрезок $BC$ в отрезок $DE$ (так как $r(B)=D$ и $r(C)=E$), следовательно, $BC = DE$.
- $r$ переводит отрезок $CD$ в отрезок $EA$ (так как $r(C)=E$ и $r(D)=A$), следовательно, $CD = EA$.
- $r$ переводит отрезок $DE$ в отрезок $AB$ (так как $r(D)=A$ и $r(E)=B$), следовательно, $DE = AB$.
- $r$ переводит отрезок $EA$ в отрезок $BC$ (так как $r(E)=B$ и $r(A)=C$), следовательно, $EA = BC$.
Из этих равенств следует, что все стороны равны: $AB = BC = CD = DE = EA$.

Равенство углов:
Поворот $r$ сохраняет величины углов.
- $r$ переводит вершину $A$ в $C$, следовательно, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $C$: $\angle A = \angle C$.
- $r$ переводит вершину $B$ в $D$, следовательно, $\angle B = \angle D$.
- $r$ переводит вершину $C$ в $E$, следовательно, $\angle C = \angle E$.
- $r$ переводит вершину $D$ в $A$, следовательно, $\angle D = \angle A$.
- $r$ переводит вершину $E$ в $B$, следовательно, $\angle E = \angle B$.
Из этих равенств следует, что все углы равны: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = \angle E$.

Поскольку у пятиугольника все стороны равны и все углы равны, он является правильным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Наличие у пятиугольника двух различных осей симметрии приводит к тому, что он обладает поворотной симметрией 5-го порядка. Это свойство, в свою очередь, гарантирует равенство всех сторон и всех углов пятиугольника, что по определению означает, что пятиугольник является правильным.