Номер 4.123, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.123. Используя условие задачи 4.122, найдите площадь:

1) четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$;

2) пятиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$.

Из условия задачи 4.122 следует, что точки $A_1, A_2, \dots, A_{12}$ являются вершинами правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$. Пусть O — центр этой окружности. Тогда центральный угол, опирающийся на одну сторону двенадцатиугольника, например, $A_1A_2$, равен $\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$.

1) четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$

Площадь четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$ можно вычислить, представив ее как разность площади фигуры $OA_1A_2A_3A_4$ и площади треугольника $OA_1A_4$.

Фигура $OA_1A_2A_3A_4$ состоит из трех равных равнобедренных треугольников: $\triangle OA_1A_2$, $\triangle OA_2A_3$ и $\triangle OA_3A_4$. У каждого из этих треугольников боковые стороны равны радиусу $R$, а угол между ними равен $30^\circ$.

Площадь одного такого треугольника, например $\triangle OA_1A_2$, равна:

$S_{\triangle OA_1A_2} = \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{R^2}{4}$.

Площадь фигуры $OA_1A_2A_3A_4$ равна сумме площадей трех таких треугольников:

$S_{OA_1A_2A_3A_4} = 3 \cdot S_{\triangle OA_1A_2} = 3 \cdot \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$.

Теперь найдем площадь треугольника $\triangle OA_1A_4$. Этот треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами $OA_1 = OA_4 = R$. Угол между этими сторонами $\angle A_1OA_4$ равен сумме трех центральных углов, то есть $\angle A_1OA_4 = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.

Площадь треугольника $\triangle OA_1A_4$ равна:

$S_{\triangle OA_1A_4} = \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \cdot 1 = \frac{R^2}{2}$.

Площадь четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$ равна:

$S_{A_1A_2A_3A_4} = S_{OA_1A_2A_3A_4} - S_{\triangle OA_1A_4} = \frac{3R^2}{4} - \frac{R^2}{2} = \frac{3R^2 - 2R^2}{4} = \frac{R^2}{4}$.

Ответ: $\frac{R^2}{4}$.

2) пятиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$

Для нахождения площади пятиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$ воспользуемся аналогичным методом. Представим его площадь как разность площади фигуры $OA_1A_2A_3A_4A_5$ и площади треугольника $OA_1A_5$.

Фигура $OA_1A_2A_3A_4A_5$ состоит из четырех равных равнобедренных треугольников: $\triangle OA_1A_2$, $\triangle OA_2A_3$, $\triangle OA_3A_4$ и $\triangle OA_4A_5$. Площадь каждого из них, как мы уже выяснили, равна $\frac{R^2}{4}$.

Площадь фигуры $OA_1A_2A_3A_4A_5$ равна сумме площадей четырех таких треугольников:

$S_{OA_1A_2A_3A_4A_5} = 4 \cdot \frac{R^2}{4} = R^2$.

Найдем площадь треугольника $\triangle OA_1A_5$. Этот треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами $OA_1 = OA_5 = R$. Угол между этими сторонами $\angle A_1OA_5$ равен сумме четырех центральных углов, то есть $\angle A_1OA_5 = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.

Площадь треугольника $\triangle OA_1A_5$ равна:

$S_{\triangle OA_1A_5} = \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь пятиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$ равна:

$S_{A_1A_2A_3A_4A_5} = S_{OA_1A_2A_3A_4A_5} - S_{\triangle OA_1A_5} = R^2 - \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4R^2 - R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{R^2(4-\sqrt{3})}{4}$.

Ответ: $\frac{R^2(4-\sqrt{3})}{4}$.