Номер 4.128, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.128. Докажите, что отрезок, ограниченный двумя сторонами треугольника, меньше наибольшей его стороны.

Для доказательства этого утверждения сначала докажем вспомогательную лемму.

Лемма: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне (чевиана), короче по крайней мере одной из двух других сторон треугольника, а именно, короче большей из них.

Доказательство леммы: Пусть в треугольнике $XYZ$ проведена чевиана $YW$ из вершины $Y$ к стороне $XZ$. Чевиана делит развернутый угол при точке $W$ на два смежных угла: $\angle YWX$ и $\angle YWZ$. Сумма этих углов равна $180^\circ$, поэтому один из них должен быть больше или равен $90^\circ$.

• Если $\angle YWX \ge 90^\circ$, то в треугольнике $XYW$ этот угол является наибольшим. Против большего угла лежит большая сторона, следовательно, сторона $XY$ длиннее стороны $YW$, то есть $YW < XY$.
• Если $\angle YWZ \ge 90^\circ$, то в треугольнике $ZYW$ этот угол является наибольшим. Следовательно, сторона $ZY$ длиннее стороны $YW$, то есть $YW < ZY$.

Таким образом, чевиана $YW$ всегда короче хотя бы одной из прилежащих сторон $XY$ или $ZY$, а значит, она короче большей из этих двух сторон: $YW < \max(XY, ZY)$. Лемма доказана.

Теперь перейдем к доказательству основного утверждения. Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его стороны как $a=BC$, $b=AC$ и $c=AB$. Пусть $S_{max} = \max(a, b, c)$ — длина наибольшей стороны. Пусть $DE$ — это отрезок, концы которого, точки $D$ и $E$, лежат на двух разных сторонах треугольника $ABC$.

Существует три возможных случая расположения точек $D$ и $E$ на сторонах треугольника.

Случай 1: Точки $D$ и $E$ лежат на смежных сторонах, например, $D \in AC$ и $E \in BC$.

Рассмотрим отрезок $AE$. Он является чевианой в треугольнике $ABC$. Согласно доказанной лемме, $AE < \max(AB, AC)$.
Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. Отрезок $DE$ является чевианой этого треугольника, проведенной из вершины $E$ к стороне $AC$. Снова применяя лемму, получаем $DE < \max(AE, CE)$.
Объединим неравенства: $DE < \max(AE, CE) < \max(\max(AB, AC), CE)$.
Так как точка $E$ лежит на стороне $BC$, то $CE < BC$.
Следовательно, $DE < \max(AB, AC, CE) < \max(AB, AC, BC) = S_{max}$.

Случай 2: Точки $D$ и $E$ лежат на других смежных сторонах, например, $D \in AB$ и $E \in AC$.

Этот случай полностью аналогичен первому. Рассмотрим чевиану $BE$ в треугольнике $ABC$. По лемме, $BE < \max(AB, BC)$.
Далее, в треугольнике $ABE$ отрезок $DE$ является чевианой из вершины $E$. По лемме, $DE < \max(AE, BE)$.
Объединяя, получаем: $DE < \max(AE, BE) < \max(AE, \max(AB, BC))$.
Так как $E \in AC$, то $AE < AC$.
Следовательно, $DE < \max(AE, AB, BC) < \max(AC, AB, BC) = S_{max}$.

Случай 3: Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах, не имеющих общей вершины, например, $D \in AB$ и $E \in BC$.

Рассмотрим чевиану $CD$ в треугольнике $ABC$. По лемме, $CD < \max(AC, BC)$.
Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $DE$ является чевианой этого треугольника, проведенной из вершины $D$ к стороне $BC$. По лемме, $DE < \max(BD, CD)$.
Объединяя неравенства: $DE < \max(BD, CD) < \max(BD, \max(AC, BC))$.
Так как точка $D$ лежит на стороне $AB$, то $BD < AB$.
Следовательно, $DE < \max(BD, AC, BC) < \max(AB, AC, BC) = S_{max}$.

Таким образом, во всех возможных случаях отрезок, ограниченный двумя сторонами треугольника, оказывается меньше наибольшей его стороны. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.