Номер 4.129, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.129. Докажите, что прямая, проведенная через вершину равнобедренного треугольника параллельно его основанию, является биссектрисой внешнего угла при этой вершине.

Дано:

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а $AC$ является основанием. Через вершину $B$ проведена прямая $m$, параллельная основанию $AC$ ($m \parallel AC$).

Доказать:

Прямая $m$ является биссектрисой внешнего угла при вершине $B$.

Доказательство:

1. Построим внешний угол при вершине $B$. Для этого продлим сторону $CB$ за точку $B$ до точки $D$. Образовавшийся угол $\angle ABD$ является внешним углом треугольника $\triangle ABC$ при вершине $B$.

2. Нам необходимо доказать, что прямая $m$ делит угол $\angle ABD$ на два равных угла. Пусть $E$ — точка на прямой $m$. Мы докажем, что $\angle ABE = \angle EBD$.

3. Рассмотрим параллельные прямые $m$ и $AC$ и секущую $AB$. Углы $\angle ABE$ и $\angle BAC$ являются накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, эти углы равны:

$\angle ABE = \angle BAC$ (1)

4. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $m$ и $AC$, но в качестве секущей возьмем прямую $CD$. Углы $\angle EBD$ и $\angle BCA$ являются соответственными углами. По свойству параллельных прямых, эти углы также равны:

$\angle EBD = \angle BCA$ (2)

5. По условию, треугольник $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Следовательно, углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA$ (3)

6. Сопоставим равенства (1), (2) и (3). Из них следует, что:

$\angle ABE = \angle BAC = \angle BCA = \angle EBD$

Таким образом, мы получили, что $\angle ABE = \angle EBD$.

7. Равенство углов $\angle ABE$ и $\angle EBD$ означает, что прямая $m$ является биссектрисой внешнего угла $\angle ABD$ при вершине $B$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, проведенная через вершину равнобедренного треугольника параллельно его основанию, является биссектрисой внешнего угла при этой вершине.