Номер 4.135, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.135. При каком условии центр описанной около треугольника окружности лежит внутри него, на его стороне, снаружи его?

Положение центра описанной около треугольника окружности (точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам) зависит от вида треугольника по величине его углов.

...внутри него

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если все углы треугольника острые, то есть меньше $90^\circ$. Такой треугольник называется остроугольным. В этом случае все три серединных перпендикуляра пересекаются во внутренней области треугольника.

На рисунке показан остроугольный треугольник $ABC$, его описанная окружность и центр этой окружности $O$, который находится внутри треугольника.

Ответ: центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный.

...на его стороне

Центр описанной окружности лежит на одной из его сторон, если один из углов треугольника прямой, то есть равен $90^\circ$. Такой треугольник называется прямоугольным. Согласно следствию из теоремы о вписанном угле, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, сторона, на которой лежит центр описанной окружности, является её диаметром, а противолежащий ей угол — прямым. Центр окружности в этом случае совпадает с серединой гипотенузы.

На рисунке показан прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $C$ — прямой). Центр описанной окружности $O$ лежит на середине гипотенузы $AB$.

Ответ: центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, если треугольник прямоугольный.

...снаружи его

Центр описанной окружности лежит снаружи треугольника, если один из углов треугольника тупой, то есть больше $90^\circ$. Такой треугольник называется тупоугольным. В этом случае серединные перпендикуляры к сторонам, прилегающим к тупому углу, пересекаются за пределами треугольника. Центр окружности оказывается по ту же сторону от противолежащей тупому углу стороны, что и сам треугольник.

На рисунке показан тупоугольный треугольник $ABC$ (угол $C$ — тупой). Центр описанной окружности $O$ находится вне треугольника, с противоположной стороны от вершины $C$ относительно стороны $AB$.

Ответ: центр описанной окружности лежит снаружи треугольника, если треугольник тупоугольный.