Номер 4.139, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.139. Разделите треугольник на три части так, чтобы из них можно было составить прямоугольник.

Для того чтобы разделить произвольный треугольник на три части, из которых можно составить прямоугольник, необходимо выполнить следующие шаги. Этот метод универсален и подходит для любого типа треугольника.

1. Построение разрезов

Сначала нужно определить линии, по которым будет разрезан треугольник.

1. Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем одну из его сторон в качестве основания, например, сторону $AC$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Обозначим длину основания $AC$ как $b$ и длину высоты $BH$ как $h$.
2. Найдем середины боковых сторон $AB$ и $BC$. Обозначим эти точки как $D$ и $E$ соответственно.
3. Соединим точки $D$ и $E$. Отрезок $DE$ является средней линией треугольника. Он параллелен основанию $AC$ и его длина равна половине длины основания ($DE = b/2$).
4. Высота $BH$ пересекает среднюю линию $DE$ в точке $P$. Точка $P$ является серединой высоты $BH$, так как $DE$ — средняя линия.
5. Разрезы производятся по отрезкам $DP$ и $PE$. Эти два отрезка делят исходный треугольник $ABC$ на три части:
   • Часть 1: Пятиугольник $ADPEC$.
   • Часть 2: Треугольник $BDP$.
   • Часть 3: Треугольник $BEP$.

На рисунке ниже показан треугольник $ABC$ и линии разреза (обозначены красным), которые делят его на три указанные части.

2. Сборка прямоугольника

Теперь необходимо переместить полученные части, чтобы сложить из них прямоугольник.

1. Часть 2 (треугольник $BDP$) поворачивается на $180^\circ$ вокруг точки $D$. Поскольку $D$ — середина стороны $AB$, вершина $B$ перейдет в вершину $A$. Вершина $P$ перейдет в новую точку $P'$.
2. Часть 3 (треугольник $BEP$) поворачивается на $180^\circ$ вокруг точки $E$. Поскольку $E$ — середина стороны $BC$, вершина $B$ перейдет в вершину $C$. Вершина $P$ перейдет в новую точку $P''$.
3. В результате этих перемещений треугольники (Часть 2 и Часть 3) "заполняют" углы у основания пятиугольника (Часть 1), образуя прямоугольник $AP'P''C$.

На рисунке ниже показан итоговый прямоугольник, собранный из трех частей.

3. Обоснование

Полученная фигура $AP'P''C$ является прямоугольником. Нижняя сторона $AC$ имеет длину $b$. Верхняя сторона $P'P''$ также имеет длину $b$, так как она состоит из отрезков, которые в сумме дают удвоенную длину средней линии ($P'P''=P'D+DE+EP''=PD+DE+PE=2DE=2(b/2)=b$). Высота прямоугольника $AP'$ (и $CP''$) равна отрезку $BP$, который является половиной высоты треугольника ($BP = h/2$). Стороны $AP'$ и $CP''$ перпендикулярны основанию $AC$, так как они являются результатом поворота отрезка высоты $BP$, который был перпендикулярен средней линии $DE$ (и, следовательно, основанию $AC$). Таким образом, из трех частей исходного треугольника составлен прямоугольник с размерами $b \times \frac{h}{2}$. Площадь прямоугольника равна $b \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2}bh$, что равно площади исходного треугольника.

Ответ: Треугольник нужно разделить на три части: два малых треугольника, отсекаемых от вершины отрезками, соединяющими середины боковых сторон с основанием высоты, проведенной к средней линии, и оставшийся пятиугольник у основания. Затем малые треугольники поворачиваются на $180^\circ$ вокруг середин боковых сторон и приставляются к пятиугольнику, образуя прямоугольник, как показано на рисунках.