Номер 4.145, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.145. Докажите формулу $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}$, если $h_1, h_2, h_3$ – высоты треугольника, а $r$ – радиус вписанной в него окружности.

Для доказательства данной формулы воспользуемся двумя способами выражения площади треугольника $S$.

Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, а $h_1, h_2, h_3$ — высоты, проведенные к этим сторонам соответственно.

1. Площадь треугольника можно выразить через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне:
$S = \frac{1}{2} a h_1$
$S = \frac{1}{2} b h_2$
$S = \frac{1}{2} c h_3$

Из этих соотношений выразим величины, обратные высотам:
$\frac{1}{h_1} = \frac{a}{2S}$
$\frac{1}{h_2} = \frac{b}{2S}$
$\frac{1}{h_3} = \frac{c}{2S}$

Сложим левую часть доказываемого равенства:
$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a}{2S} + \frac{b}{2S} + \frac{c}{2S} = \frac{a+b+c}{2S}$.

2. Площадь треугольника также можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и его полупериметр $p$. Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$.
Формула площади: $S = p \cdot r$.
Подставив выражение для полупериметра, получим: $S = \frac{a+b+c}{2} \cdot r$.

Из этой формулы выразим величину $\frac{1}{r}$, которая является правой частью доказываемого равенства:
$\frac{1}{r} = \frac{a+b+c}{2S}$.

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей исходного равенства, мы видим, что они тождественно равны:
$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a+b+c}{2S}$
$\frac{1}{r} = \frac{a+b+c}{2S}$

Таким образом, формула $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}$ доказана.

Ответ: Равенство доказано.