Номер 4.149, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.149. Докажите, что выполняется равенство $S_{ABC} = S_1 + S_2$, где $S_1$ и $S_2$ — площади полумесяцев, ограниченных полуокружностями, диаметры которых есть стороны прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) (рис. 4.42).

Рис. 4.42

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов $AC$ и $BC$ как $b$ и $a$ соответственно, а длину гипотенузы $AB$ как $c$.

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ выполняется равенство: $a^2 + b^2 = c^2$

На сторонах треугольника как на диаметрах построены три полуокружности. Площади $S_1$ и $S_2$ представляют собой так называемые «луночки Гиппократа». Нам нужно доказать, что их суммарная площадь равна площади треугольника $ABC$, то есть $S_1 + S_2 = S_{ABC}$.

Площадь полукруга с диаметром $d$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{8}$.

Обозначим площади полукругов, построенных на катетах $AC$ и $BC$ как $S_{AC}$ и $S_{BC}$ соответственно, а площадь полукруга, построенного на гипотенузе $AB$, как $S_{AB}$.

$S_{AC} = \frac{\pi b^2}{8}$

$S_{BC} = \frac{\pi a^2}{8}$

$S_{AB} = \frac{\pi c^2}{8}$

Поскольку угол $C$ прямой, вершина $C$ лежит на полуокружности, построенной на гипотенузе $AB$. Площадь луночки $S_1$ можно найти, если из площади полукруга на катете $AC$ вычесть площадь сегмента, отсекаемого хордой $AC$ от полукруга на гипотенузе $AB$. Аналогично для $S_2$.

Давайте выразим сумму площадей $S_1 + S_2$ через площади известных фигур. Сумма площадей двух полукругов на катетах равна сумме площадей двух луночек и площади треугольника. Однако более строгий подход — через сложение и вычитание площадей.

Сумма площадей полукругов на катетах и площади самого треугольника равна $S_{AC} + S_{BC} + S_{ABC}$. Эта же общая площадь может быть представлена как сумма площади полукруга на гипотенузе и площадей двух луночек: $S_{AB} + S_1 + S_2$. Приравняем эти два выражения для общей площади фигуры:

$S_{AC} + S_{BC} + S_{ABC} = S_{AB} + S_1 + S_2$

Выразим отсюда искомую сумму $S_1 + S_2$:

$S_1 + S_2 = S_{AC} + S_{BC} - S_{AB} + S_{ABC}$

Теперь подставим формулы для площадей полукругов:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi b^2}{8} + \frac{\pi a^2}{8} - \frac{\pi c^2}{8} + S_{ABC}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi}{8}(a^2 + b^2 - c^2) + S_{ABC}$

Из теоремы Пифагора мы знаем, что $a^2 + b^2 = c^2$, следовательно, выражение в скобках равно нулю: $a^2 + b^2 - c^2 = 0$.

Подставив это в наше уравнение, получаем:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi}{8}(0) + S_{ABC} = S_{ABC}$

Таким образом, мы доказали, что сумма площадей двух луночек равна площади прямоугольного треугольника.

Ответ: Равенство $S_{ABC} = S_1 + S_2$ выполняется, что и требовалось доказать.