Номер 4.153, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.153. Меньшая сторона трапеции, описанной около окружности радиусом $R$, равна $1.5R$. Найдите площадь этой трапеции.

Пусть дана трапеция, описанная около окружности радиусом $R$. Высота такой трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2R$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований. Для нашей трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot 2R = (a+b)R$.

Определим, какая из сторон является меньшей. Пусть $c$ — длина боковой стороны трапеции. Если опустить из вершины меньшего основания перпендикуляр на большее основание, мы получим прямоугольный треугольник, в котором боковая сторона трапеции является гипотенузой, а высота трапеции $h=2R$ — катетом. Поскольку гипотенуза всегда больше катета, любая боковая сторона трапеции должна быть не меньше высоты: $c \ge h = 2R$.

По условию, меньшая сторона равна $1,5R$. Так как $1,5R < 2R$, боковая сторона не может быть меньшей стороной. Следовательно, меньшая сторона — это меньшее основание. Обозначим его $b$. Итак, $b=1,5R$.

Для того чтобы найти площадь, нам нужно определить длину большего основания $a$. Задача не определяет вид трапеции, но площадь должна быть определена однозначно. Рассмотрим частный, но допустимый условиями задачи случай — прямоугольную трапецию. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, и ее длина равна высоте трапеции. Пусть это сторона $c_1$. Тогда $c_1 = h = 2R$.

Для любого четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции с основаниями $a$, $b$ и боковыми сторонами $c_1$, $c_2$ это свойство выглядит так: $a+b = c_1+c_2$.

Подставим известные значения: $a + 1,5R = 2R + c_2$. Отсюда можно выразить вторую боковую сторону $c_2$: $c_2 = a - 0,5R$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется, если провести высоту из вершины тупого угла трапеции к большему основанию. Катеты этого треугольника равны высоте трапеции $h=2R$ и разности оснований $a-b = a-1,5R$. Гипотенузой является боковая сторона $c_2$.

По теореме Пифагора: $c_2^2 = h^2 + (a-b)^2$.

Подставим выражения для $c_2$, $h$ и $b$:

$(a - 0,5R)^2 = (2R)^2 + (a - 1,5R)^2$

Раскроем скобки:

$a^2 - aR + 0,25R^2 = 4R^2 + a^2 - 3aR + 2,25R^2$

Сократим $a^2$ в обеих частях и приведем подобные слагаемые:

$-aR + 0,25R^2 = -3aR + 6,25R^2$

Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть, а остальные в правую:

$3aR - aR = 6,25R^2 - 0,25R^2$

$2aR = 6R^2$

Отсюда находим длину большего основания $a$:

$a = \frac{6R^2}{2R} = 3R$

Теперь, зная оба основания ($a=3R$, $b=1,5R$) и высоту ($h=2R$), мы можем найти площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2}h = \frac{3R + 1,5R}{2} \cdot 2R = (3R + 1,5R)R = 4,5R \cdot R = 4,5R^2$

Ответ: $4,5R^2$.