Номер 4.147, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.147. Докажите, что для взаимной перпендикулярности диагоналей четырехугольника необходимо и достаточно выполнение равенства суммы квадратов его противоположных сторон.

Для доказательства данного утверждения необходимо показать два взаимно обратных утверждения: 1) если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то суммы квадратов длин его противоположных сторон равны (необходимость), и 2) если суммы квадратов длин противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали перпендикулярны (достаточность).

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть его диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Обозначим длины отрезков, на которые точка O делит диагонали, как $AO$, $CO$, $BO$, $DO$.

Необходимость

Пусть диагонали AC и BD перпендикулярны. Это означает, что угол в точке их пересечения O равен $90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине O.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

$AB^2 = AO^2 + BO^2$

$BC^2 = BO^2 + CO^2$

$CD^2 = CO^2 + DO^2$

$DA^2 = DO^2 + AO^2$

Сложим квадраты длин противоположных сторон:

$AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2) = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$.

$BC^2 + DA^2 = (BO^2 + CO^2) + (DO^2 + AO^2) = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$.

Сравнивая правые части этих равенств, видим, что они равны. Следовательно, $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$.

Достаточность

Пусть теперь известно, что суммы квадратов длин противоположных сторон четырехугольника равны: $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$.

Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$. Тогда, как смежный с ним, $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$. Углы $\angle COD$ и $\angle DOA$ равны им как вертикальные: $\angle COD = \alpha$ и $\angle DOA = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов к четырем треугольникам с общей вершиной O:

$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\alpha)$

$BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = BO^2 + CO^2 + 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\alpha)$

$CD^2 = CO^2 + DO^2 - 2 \cdot CO \cdot DO \cdot \cos(\alpha)$

$DA^2 = DO^2 + AO^2 - 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = DO^2 + AO^2 + 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos(\alpha)$

Подставим эти выражения в исходное равенство $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$:

$(AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos\alpha) + (CO^2 + DO^2 - 2 \cdot CO \cdot DO \cdot \cos\alpha) = (BO^2 + CO^2 + 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos\alpha) + (DO^2 + AO^2 + 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos\alpha)$.

После сокращения одинаковых членов $AO^2, BO^2, CO^2, DO^2$ в обеих частях уравнения, получим:

$-2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos\alpha - 2 \cdot CO \cdot DO \cdot \cos\alpha = 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos\alpha + 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos\alpha$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos\alpha + 2 \cdot CO \cdot DO \cdot \cos\alpha + 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos\alpha + 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos\alpha = 0$.

Вынесем за скобки общий множитель $2\cos\alpha$:

$2\cos\alpha (AO \cdot BO + CO \cdot DO + BO \cdot CO + DO \cdot AO) = 0$.

Сгруппируем слагаемые в скобках: $AO \cdot BO + BO \cdot CO + DO \cdot AO + DO \cdot CO = BO(AO+CO) + DO(AO+CO) = (AO+CO)(BO+DO)$.

Тогда уравнение примет вид:

$2\cos\alpha \cdot (AO+CO) \cdot (BO+DO) = 0$.

Для невырожденного четырехугольника длины его диагоналей $(AO+CO)$ и $(BO+DO)$ являются положительными числами. Поэтому их произведение также положительно. Следовательно, для того чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы $\cos\alpha = 0$.

Угол $\alpha$ между диагоналями находится в интервале $(0, 180^\circ)$. Единственное значение угла в этом интервале, для которого косинус равен нулю, это $\alpha=90^\circ$.

Таким образом, диагонали AC и BD перпендикулярны.

Так как доказаны и необходимость, и достаточность, утверждение задачи является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.