Номер 4.148, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.148. С внешней стороны прямоугольного треугольника построены полукруги так, что его стороны являются их диаметрами. Покажите равенство площади большего полукруга сумме площадей двух других полукругов.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора и формулой площади круга.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, для этого треугольника выполняется равенство:

$a^2 + b^2 = c^2$

По условию задачи, на каждой стороне треугольника с внешней стороны построен полукруг, диаметр которого равен длине соответствующей стороны. Это показано на рисунке ниже.

Площадь круга с радиусом $R$ равна $S_{круга} = \pi R^2$. Поскольку диаметр $d = 2R$, площадь можно выразить через диаметр: $S_{круга} = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Площадь полукруга составляет половину площади круга:

$S_{полукруга} = \frac{1}{2} S_{круга} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi d^2}{8}$

Теперь вычислим площади трех полукругов:

• Площадь полукруга, построенного на катете $a$, обозначим $S_a$. Его диаметр равен $a$.
  $S_a = \frac{\pi a^2}{8}$
• Площадь полукруга, построенного на катете $b$, обозначим $S_b$. Его диаметр равен $b$.
  $S_b = \frac{\pi b^2}{8}$
• Площадь полукруга, построенного на гипотенузе $c$, обозначим $S_c$. Это больший полукруг, так как гипотенуза является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Его диаметр равен $c$.
  $S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Нам нужно показать, что $S_c = S_a + S_b$.

Найдем сумму площадей полукругов, построенных на катетах:

$S_a + S_b = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки:

$S_a + S_b = \frac{\pi}{8} (a^2 + b^2)$

Из теоремы Пифагора мы знаем, что $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим это выражение в нашу формулу:

$S_a + S_b = \frac{\pi}{8} c^2$

Полученное выражение в точности равно площади полукруга, построенного на гипотенузе $c$:

$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Таким образом, мы доказали, что $S_c = S_a + S_b$, что и требовалось.

Ответ: Равенство площадей показано. Площадь большего полукруга (построенного на гипотенузе) равна сумме площадей двух других полукругов (построенных на катетах). Это утверждение является прямым алгебраическим следствием теоремы Пифагора, примененной к формуле площади полукруга.