Номер 4.143, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.143. Квадрат со стороной, равной 8 см, разрезали так, как показано на рисунке 4.40, и составили прямоугольник (рис. 4.41). Почему площадь полученного прямоугольника не равна площади квадрата?

Рис. 4.40

Рис. 4.41

Эта задача представляет собой известный геометрический парадокс, основанный на оптической иллюзии. Площадь полученной фигуры не равна площади квадрата, потому что эта фигура, хоть и очень похожа на прямоугольник, на самом деле им не является.

Для начала проведем расчеты, чтобы увидеть несоответствие в площадях.

1. Площадь квадрата

Исходная фигура — это квадрат со стороной 8 см. Его площадь равна:

$S_{квадрата} = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^2$

2. Площадь "прямоугольника"

После разрезания и перестановки частей, как показано на рисунках (хотя рисунки являются схематичными), в классической версии этого парадокса образуется фигура, очень похожая на прямоугольник со сторонами 5 см и 13 см. Вычислим её площадь:

$S_{прямоугольника} = 5 \text{ см} \times 13 \text{ см} = 65 \text{ см}^2$

Как мы видим, площадь полученной фигуры на 1 см² больше площади исходного квадрата.

3. Объяснение парадокса

Секрет кроется в том, что части квадрата не стыкуются идеально, чтобы образовать прямоугольник. Длинная сторона собранной фигуры, которая выглядит как прямая линия (гипотенуза), на самом деле имеет небольшой излом. Это происходит потому, что угловые коэффициенты (тангенсы углов наклона) наклонных сторон у разных частей не совпадают.

В данной задаче используются числа, являющиеся частью последовательности Фибоначчи: 3, 5, 8, 13. Разрежем квадрат 8x8 на две трапеции и два треугольника. При сборке их в "прямоугольник" 13x5 его длинная "диагональ" составляется из наклонных сторон треугольника и трапеции.

• Угловой коэффициент наклонной стороны одного элемента (треугольника) равен $k_1 = \frac{3}{8}$.
• Угловой коэффициент наклонной стороны другого элемента (трапеции) равен $k_2 = \frac{2}{5}$.

Сравним эти два значения:

$k_1 = \frac{3}{8} = 0.375$

$k_2 = \frac{2}{5} = 0.4$

Поскольку $k_1 \neq k_2$, эти отрезки не могут лежать на одной прямой. Так как $0.4 > 0.375$, линия "диагонали" на самом деле немного выгибается наружу. Этот излом создает очень узкую, почти незаметную щель в форме параллелограмма вдоль всей "диагонали".

Ниже представлены схематичные изображения из условия задачи, преобразованные в формат SVG.

Площадь этого незаметного зазора и составляет "пропавший" 1 см². То есть, сумма площадей четырех частей равна 64 см², а площадь фигуры, в которую они собраны, равна сумме их площадей плюс площадь зазора: $64 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 = 65 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь полученной фигуры не равна площади квадрата, потому что она не является настоящим прямоугольником. Из-за разного наклона сторон составных частей при их соединении образуется почти незаметный зазор в виде узкого параллелограмма, площадь которого и составляет разницу в 1 см².