Номер 4.140, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.140. Трапеция своими диагоналями делится на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, основаниями которых являются ее боковые стороны, равновелики.

Доказательство:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. При пересечении диагоналей образуются четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle AOD$. Требуется доказать, что треугольники, прилегающие к боковым сторонам, то есть $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, равновелики (имеют равные площади).

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

У этих треугольников общее основание $AD$. Высоты этих треугольников, проведенные из вершин $B$ и $C$ к основанию $AD$ (или его продолжению), равны между собой. Это следует из того, что основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, и расстояние между параллельными прямыми постоянно. Эта высота равна высоте трапеции.

2. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Поскольку у треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ общее основание $AD$ и равные высоты, их площади равны:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$

3. Теперь представим площади этих треугольников как сумму площадей треугольников, на которые они разбиты диагоналями.

Площадь треугольника $\triangle ABD$ равна сумме площадей треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$

Площадь треугольника $\triangle ACD$ равна сумме площадей треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

4. Так как $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

5. Вычтем из обеих частей равенства площадь треугольника $\triangle AOD$, которая является общей для обоих больших треугольников:

$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$

Таким образом, доказано, что площади треугольников, основаниями которых являются боковые стороны трапеции, равны.

Ответ: Треугольники, прилегающие к боковым сторонам трапеции, равновелики, что и требовалось доказать.