Номер 4.141, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.141. Найдите общую касательную окружностей радиусами $R$ и $r$, касающихся друг друга внешним образом.

Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R$ и $r$ соответственно. Окружности касаются друг друга внешним образом. Это означает, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = R + r$.

Рассмотрим внешнюю общую касательную к этим окружностям. Пусть $A$ и $B$ — точки касания этой прямой с первой и второй окружностями соответственно. Требуется найти длину отрезка $AB$.

Проведем радиусы $O_1A$ и $O_2B$ к точкам касания. Согласно свойству касательной, радиусы перпендикулярны касательной в точке касания. Таким образом, $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Отсюда следует, что $O_1A \parallel O_2B$.

Фигура $O_1ABO_2$ представляет собой прямоугольную трапецию с основаниями $O_1A = R$ и $O_2B = r$ и прямыми углами при вершинах $A$ и $B$.

Для нахождения длины стороны $AB$ проведем из центра меньшей окружности (предположим, это $O_2$) прямую, параллельную касательной $AB$, которая пересекает радиус $O_1A$ в точке $C$.

Полученный четырехугольник $ABO_2C$ является прямоугольником, так как у него три прямых угла (при $A$, $B$ и $C$). Следовательно, $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1CO_2$. Его гипотенуза $O_1O_2 = R + r$. Один катет $O_1C = O_1A - AC = R - r$. Второй катет $CO_2$ равен искомой длине $AB$.

Применим теорему Пифагора: $(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$.

Подставим известные величины:

$(R + r)^2 = (R - r)^2 + (AB)^2$

Выразим $(AB)^2$:

$(AB)^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(AB)^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2)$

$(AB)^2 = R^2 + 2Rr + r^2 - R^2 + 2Rr - r^2 = 4Rr$

Извлекая квадратный корень, находим длину отрезка общей касательной:

$AB = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$

Стоит отметить, что у таких окружностей есть также внутренняя общая касательная, которая проходит через точку их касания. Длина отрезка такой касательной между точками касания равна нулю. Так как в задаче требуется найти длину, как правило, имеется в виду нетривиальный случай, то есть длина отрезка внешней касательной.

Ответ: $2\sqrt{Rr}$