Номер 4.134, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.134. Найдите угол между касательными, проведенными к окружности в вершинах вписанного в окружность треугольника, если даны углы этого вписанного треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность с центром в точке $O$. Обозначим углы этого треугольника как $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$. К окружности в вершинах $A$, $B$ и $C$ проведены касательные. Эти касательные попарно пересекаются и образуют новый треугольник. Найдем углы этого нового треугольника.

Угол, образованный касательными в вершинах B и C

Пусть $P$ — точка пересечения касательных, проведенных к окружности в вершинах $B$ и $C$. Рассмотрим четырехугольник $OBPC$. По свойству касательной, радиусы $OB$ и $OC$ перпендикулярны касательным в точках $B$ и $C$ соответственно. Следовательно, углы $\angle OBP$ и $\angle OCP$ равны $90^\circ$. Сумма углов четырехугольника $OBPC$ равна $360^\circ$:

$ \angle BPC + \angle OBP + \angle BOC + \angle OCP = 360^\circ $

$ \angle P + 90^\circ + \angle BOC + 90^\circ = 360^\circ \implies \angle P = 180^\circ - \angle BOC $

Угол $\angle BOC$ — центральный, опирающийся на дугу $BC$. Вписанный угол $\angle BAC = \alpha$ опирается на ту же дугу. Поэтому $\angle BOC = 2\alpha$. Подставляя это в формулу для $\angle P$, получаем:

$ \angle P = 180^\circ - 2\alpha $

Ответ: Угол, образованный касательными в вершинах $B$ и $C$, равен $180^\circ - 2\alpha$.

Угол, образованный касательными в вершинах A и C

Пусть $Q$ — точка пересечения касательных в вершинах $A$ и $C$. Рассуждая аналогично для четырехугольника $OAQC$, получаем, что угол $\angle Q$ связан с центральным углом $\angle AOC$. Центральный угол $\angle AOC$ опирается на дугу $AC$, на которую также опирается вписанный угол $\angle ABC = \beta$. Следовательно, $\angle AOC = 2\beta$. Тогда:

$ \angle Q = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 2\beta $

Ответ: Угол, образованный касательными в вершинах $A$ и $C$, равен $180^\circ - 2\beta$.

Угол, образованный касательными в вершинах A и B

Пусть $R$ — точка пересечения касательных в вершинах $A$ и $B$. Аналогично для четырехугольника $OARB$, угол $\angle R$ связан с центральным углом $\angle AOB$. Центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу $AB$, на которую опирается вписанный угол $\angle ACB = \gamma$. Следовательно, $\angle AOB = 2\gamma$. Тогда:

$ \angle R = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 2\gamma $

Ответ: Угол, образованный касательными в вершинах $A$ и $B$, равен $180^\circ - 2\gamma$.