Номер 4.131, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.131. Докажите, что четырехугольник, вершины которого находятся на серединах сторон любого выпуклого четырехугольника, является параллелограммом.

Пусть дан произвольный выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим точки $K, L, M, N$ как середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Нам необходимо доказать, что четырехугольник $KLMN$, образованный этими точками, является параллелограммом. Это утверждение известно как теорема Вариньона.

Для доказательства проведём в исходном четырёхугольнике диагональ $AC$. Эта диагональ разделяет четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно, отрезок $KL$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом:

$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $CD$ и $DA$. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$. Для него также справедливо свойство средней линии:

$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Теперь сравним отрезки $KL$ и $MN$. Мы получили, что оба отрезка параллельны одной и той же прямой $AC$, следовательно, они параллельны друг другу: $KL \parallel MN$. Также мы получили, что длины обоих отрезков равны половине длины $AC$, следовательно, они равны друг другу: $KL = MN$.

В четырехугольнике $KLMN$ мы нашли пару противоположных сторон ($KL$ и $MN$), которые одновременно параллельны и равны. Согласно признаку параллелограмма, если в выпуклом четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что $KLMN$ — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон любого выпуклого четырехугольника, является параллелограммом. Это следует из того, что его противоположные стороны (например, $KL$ и $MN$) параллельны и равны, так как каждая из них является средней линией в одном из треугольников, на которые исходный четырехугольник делится диагональю ($AC$), и потому параллельна этой диагонали и равна её половине.