Номер 4.132, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.132. Докажите, что середины диагоналей трапеции и середины ее боковых сторон лежат на одной прямой.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Обозначим точки:

• $M$ — середина боковой стороны $AB$.
• $N$ — середина боковой стороны $CD$.
• $P$ — середина диагонали $AC$.
• $Q$ — середина диагонали $BD$.

Требуется доказать, что точки $M, P, Q, N$ лежат на одной прямой.

Доказательство:

1. Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон трапеции $AB$ и $CD$. По определению, $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$. По свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям, то есть $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $P$ — середина стороны $AC$. Следовательно, отрезок $MP$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне, то есть $MP \parallel BC$.

3. Мы получили, что $MN \parallel BC$ и $MP \parallel BC$. Через точку $M$ может проходить только одна прямая, параллельная прямой $BC$ (согласно аксиоме о параллельных прямых). Это означает, что точка $P$ должна лежать на прямой, проходящей через отрезок $MN$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $Q$ — середина стороны $BD$. Следовательно, отрезок $MQ$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии треугольника, $MQ \parallel AD$.

5. Мы имеем, что $MN \parallel AD$ и $MQ \parallel AD$. Аналогично предыдущему пункту, через точку $M$ может проходить только одна прямая, параллельная прямой $AD$. Значит, точка $Q$ также должна лежать на прямой, проходящей через отрезок $MN$.

Таким образом, мы доказали, что точки $P$ и $Q$ лежат на прямой $MN$. Поскольку точки $M$ и $N$ по определению принадлежат этой прямой, все четыре точки $M, P, Q, N$ лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Середины диагоналей трапеции и середины ее боковых сторон лежат на одной прямой (которая является средней линией трапеции).