Номер 4.125, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.125. Углы AOB и BOC, равные $\alpha$ и $\beta$ соответственно, имеют общую сторону. Определите угол между биссектрисами этих углов. Рассмотрите случай, когда эти углы смежные.

Задача состоит из двух частей: нахождение угла между биссектрисами в общем случае и в частном случае, когда углы смежные. Для общего случая необходимо рассмотреть два возможных варианта взаимного расположения углов.

Определение угла между биссектрисами

Пусть даны два угла, $∠AOB = α$ и $∠BOC = β$, имеющие общую сторону $OB$. Пусть $OK$ — биссектриса угла $∠AOB$, а $OM$ — биссектриса угла $∠BOC$. Необходимо найти угол $∠KOM$.

Случай 1: Общая сторона $OB$ находится между сторонами $OA$ и $OC$.
В этом случае углы прилегают друг к другу. Угол, образованный биссектрисами, будет состоять из половин каждого из углов.

По определению биссектрисы: $∠KOB = \frac{∠AOB}{2} = \frac{α}{2}$ и $∠BOM = \frac{∠BOC}{2} = \frac{β}{2}$.
Угол между биссектрисами $∠KOM$ равен сумме этих двух углов:
$∠KOM = ∠KOB + ∠BOM = \frac{α}{2} + \frac{β}{2} = \frac{α + β}{2}$.

Случай 2: Одна из крайних сторон ($OA$ или $OC$) находится между общей стороной $OB$ и другой крайней стороной.
В этом случае один угол оказывается расположен внутри другого. Пусть для определенности луч $OA$ лежит между лучами $OB$ и $OC$. Тогда $β > α$.

$∠KOB = \frac{α}{2}$ и $∠MOB = \frac{β}{2}$.
Угол между биссектрисами $∠KOM$ в этом случае равен разности углов $∠MOB$ и $∠KOB$ (поскольку луч $OK$ лежит между лучами $OM$ и $OB$):
$∠KOM = ∠MOB - ∠KOB = \frac{β}{2} - \frac{α}{2} = \frac{β - α}{2}$.
Если бы луч $OC$ лежал между $OB$ и $OA$ (то есть $α > β$), результат был бы $\frac{α - β}{2}$. Оба этих варианта можно объединить, используя модуль разности.
$∠KOM = \frac{|α - β|}{2}$.

Ответ: Угол между биссектрисами равен $\frac{α + β}{2}$, если общая сторона $OB$ лежит между сторонами $OA$ и $OC$, или $\frac{|α - β|}{2}$, если одна из сторон ($OA$ или $OC$) лежит между общей стороной $OB$ и другой стороной.

Случай, когда эти углы смежные

Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая ($OB$), а две другие ($OA$ и $OC$) являются дополнительными лучами, то есть образуют прямую линию. Этот случай является частным случаем рассмотренного выше Случая 1.

Сумма смежных углов всегда равна $180°$.
$α + β = 180°$.
Угол между биссектрисами, согласно формуле для первого случая, равен:
$∠KOM = \frac{α + β}{2}$.
Подставив сумму углов, получаем:
$∠KOM = \frac{180°}{2} = 90°$.
Таким образом, биссектрисы смежных углов всегда перпендикулярны друг другу.

Ответ: 90°.